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ボレル σ-algebra

こんにちは。ボレルσ-algebraがでてきてから全く分からなくなりました。σ-algebraの定義は理解しました。しかし、ボレルσ-algebraの定義(ボレルσ-algebraは実数上における最も小さいσ-algebra)と書かれてますが、最も小さいσ-algebraというのが全く分かりません。どういう意味なのでしょうか?また、実数上とでてますが、ここでなぜ実数が出てくるのでしょうか。σ-algebraの定義(3つの条件)と、これらとの繋がりが見えません。もし宜しければ、分かりやすく説明してください。且、例題があれば助かります。

みんなの回答

  • rinkun
  • ベストアンサー率44% (706/1571)
回答No.1

まず「ボレルσ-algebraは実数上における最も小さいσ-algebra」は誤りですね。 単に最小ならトリビアルな例があります。 # {φ,R}です 普通は「ボレルσ-algebraは実数上の開区間全てを含む最小のσ-algebra」という言い方をします。なぜ実数かというとボレルσ-algebraがルベーグ積分に(測度の台として)使われるからでしょう。 ただ一般化されて「位相空間のボレルσ-algebraは開集合全てを含む最小のσ-algebra」ともされます。 さて「最も小さいσ-algebra」ですが、σ-algebraは集合族(集合の集合)ですから、ある集合上のσ-algebra同士には集合の包含関係により(半)順序が導入できます。 この順序関係により最小なものを「最も小さいσ-algebra」と呼んでいるのです。 ある条件(開集合を全て含む)を満たすσ-algebraに最小のものが存在することは自分で確認してください。

参考URL:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F
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