ボレル σ-algebra

質問

こんにちは。ボレルσ-algebraがでてきてから全く分からなくなりました。σ-algebraの定義は理解しました。しかし、ボレルσ-algebraの定義（ボレルσ-algebraは実数上における最も小さいσ-algebra）と書かれてますが、最も小さいσ-algebraというのが全く分かりません。どういう意味なのでしょうか？また、実数上とでてますが、ここでなぜ実数が出てくるのでしょうか。σ-algebraの定義（３つの条件）と、これらとの繋がりが見えません。もし宜しければ、分かりやすく説明してください。且、例題があれば助かります。

回答No.1

rinkun

まず「ボレルσ-algebraは実数上における最も小さいσ-algebra」は誤りですね。
単に最小ならトリビアルな例があります。
# {φ,R}です

普通は「ボレルσ-algebraは実数上の開区間全てを含む最小のσ-algebra」という言い方をします。なぜ実数かというとボレルσ-algebraがルベーグ積分に(測度の台として)使われるからでしょう。
ただ一般化されて「位相空間のボレルσ-algebraは開集合全てを含む最小のσ-algebra」ともされます。

さて「最も小さいσ-algebra」ですが、σ-algebraは集合族(集合の集合)ですから、ある集合上のσ-algebra同士には集合の包含関係により(半)順序が導入できます。
この順序関係により最小なものを「最も小さいσ-algebra」と呼んでいるのです。

ある条件(開集合を全て含む)を満たすσ-algebraに最小のものが存在することは自分で確認してください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F