場合分けの違い

質問

1.aは定数とする。次のxについて方程式を解け。
ax^2-(a+1)x+1=0

2.次の関数の値域を求めよ
y=|2x-4|

お世話になります。
問題集の指針を見ると1.の問題はa=0の時とa≠0のときに場合分けすると書いてありました。
2.の問題では｜a｜を、aがa≧0かa＜0の場合に分けて考えると書いてありました。
なぜ同じ"場合分け"の方法が違うのでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.3

noname#24129 · ベストアンサー

同じ"場合分け"でも、それぞれの場合があって、方法が分けられているのです。

1)　方程式の係数の場合わけ
ax^2-(a+1)x+1=0については、
a=0なら、-x+1=0となり、1次方程式です。
a≠0なら、x^2の項は消えずに残っているので、2次方程式です。

　つまり、1次方程式の場合とと2次方程式の場合に分けています。

2)　絶対値の中の場合分け
｜a｜について、
a≧0のときは、絶対値の中の符号は正(+)、または符号なしです。このとき、絶対値の記号はそのままはずせます。
　たとえば、|+2|=(+)2,|0|=0
a＜0のときは、絶対値の中の符号は負(-)です。
このときは、その符号を正(+)にしてはずします。
　たとえば、|-2|=(+)2

　つまり、絶対値の中の式を、正または0の場合と、負の場合に分けています。

1),2)は、"場合分け"として同じ類ですが、それぞれの場合に応じて、違った観点から場合分けの方法がとられる、異なる種であるのです。

お礼

有難う御座います。大変よく分りました。

回答No.2

shaki_shaki

１の式を整理すると、
　(ax-1)(x-1)=0
となり、1) ax-1=0 2) x-1=0 のいずれかを満たすものが解となります。
　1)を満たすxが存在するかは a が0であるかにより変わるので、場合分けをするのです。
　機械的に「２次の係数が０か非０かにより適用する公式が異なるから分ける」という説明（便法）もありですが。
（ちなみに、２次方程式の解の公式も因数分解から導かれるもので、因数分解を進める段階で、２次の係数により場合分けをする必要が出てきますので、上記便法も、私の説明も、同じことを言っています。）

２については、｜a｜の絶対値をはずすときに-（マイナス）符号をつけるか否かの条件が、a≧0かa＜0であるからで、１の場合分けとは関係ありません。

お礼

有難う御座います。大変よく分りました。

回答No.1

osamuy

1.のaは、方程式の係数を表すもので、
2.のaは、a=2x-4としたときのものですので、
1.のaと2.のaは、別物では。

1と2がつながっている問題なのかを確認してみては。

お礼

有難う御座います。大変よく分りました。