2次関数場合分け

質問

y=x^2-2ax+1 (0≦x≦1) 最小値を求めよ。

場合分けを
a≦0,0<a<1,1≦a
と考え違いましたが
なぜ違うのかがわかりません。

誰か教えて下さい。お願いします。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

>場合分けを
a≦0,0<a<1,1≦a
と考え違いましたが

何を言ってるのかわかりませんが、根本的に今自分で何をしているかを理解していないのでしょう。

aの持つ意味は何かをよく考えてください。

x=aはy=f(x)=x^2-2ax+1の頂点のx座標です。ほかに条件がなければ頂点が最小値を与えます。x=aが (0≦x≦1) に入っているかどうかで話は大きく変わります。

従って場合分けが必要になるのです。

i)a<0の場合

「中心軸は領域0≦x≦1の左側、したがってx=0が最小値を与える」ということが自分で納得できるまでグラフを書いて考えてください。納得できなければこの問題は質問者には難しすぎるのでやめたほうがいいでしょう。

つまり、この場合最小値=f(x)=1,最大値＝f(1)=2-2a

ii)0≦a≦1のときつまり中心軸が領域 (0≦x≦1) の中に入っているので

最小値=f(a)=1-a^2

iii)1<aの場合

最小値=f(1)=2-2a

お礼

解説ありがとうございます。

しかし答えをみると
a<0のときと0≦a<1のときとa≧1のときで
場合分けしてあります。

しつこいですがわかれば
教えて下さい。

回答No.5

178-tall

>しかし答えをみると　a<0のときと0≦a<1のときとa≧1のときで　場合分けしてあります。

ですから、a が 0≦x≦1 の範囲に含まれぬ場合には、x=0 か x=1 のどちらかで y が最小値をとる、と申し上げているのですけど…。

お礼

やっと理解しました。

細かく説明ありがとうございました。

回答No.4

spring135

=をどのように入れようと結果は同じということを自分で確認することもできないのですか。

お礼

すみません、結果は同じでした。
もう少し自分で考える力を養いたいと思います…

ありがとうございました。

回答No.2

k-glad

こんにちは。

この場合、

チェックポイント(1)：二次関数が表す放物線の頂点の座標は正しく計算されていますか？
　 y = x^2 -2ax + 1
=(x-a)^2 + (1-a^2)
放物線の頂点の座標(x, y) = (a, 1-a^2)
放物線の軸 x = a

チェックポイント(2)：条件に与えられたxの範囲と放物線の軸の位置関係を正しく場合分けしていますか？
a)条件に与えられたxの範囲よりも、放物線の軸が小さい範囲にある場合　→　a < 0
b)条件に与えられたxの範囲に、放物線の軸がある場合　→　0 ≦ a ≦ 1
c)条件に与えられたxの範囲よりも、放物線の軸が多い意範囲にある場合　→　1 < a

となりますが、問題にあるxの範囲は「0以上 & 1以下」であることを見落としてしまっていませんか？？

というカンジです＾＾

回答No.1

178-tall

>y=x^2-2ax+1 (0≦x≦1) 最小値を求めよ。
>場合分けを　a≦0,0<a<1,1≦a　と考え違いましたが　なぜ違うのかがわかりません。

y=x^2-2ax+1=(x-a)^2 + (1-a^2)　と整形してみると、大域的な極小点は x=a です。

しかし、お題は 0≦x≦1 での局所的な最小値を訊いてますネ。
それの答案を考えねばならず、大域的な極小点 x=a が局所的に限定された範囲の中にあるケースと、それ以外のケースとに分けて思案せねばならないのでしょう。