なぜ逆関数はf^(-1) (x)

質問

f(x)の逆関数はなぜ　f^(-1) (x)　という風にあらわしているのでしょうか・・・？

逆関数≠逆数　とは分かっていますが・・・
-1乗って　逆数みたいなイメージがあったので・・・
（xの-1乗は1/xでありxの逆数であるので）

数学的な意味があるわけではなく、「fの右上に-1がついていたら、逆関数をあらわしますよ！」という単なる「記号」のようなものとして捕らえればいいのでしょうか・・・？

ちなみに高校生です(＾＾；　よろしくお願いします！

回答No.4

ojisan7 · ベストアンサー

高校生のようですから、簡単に説明します。
関数f(x)は、簡単にfと書くこともあります。また、関数の合成についても、知っていますね。例えば、関数f(x)と関数g(x)を合成するとf(g(x))となります。これを簡単に書けばfgとなります。fgと書いてあるからといって、これはfとgのかけ算ではありません。また、f(f(x)はf^(2)と書くことができます。このように、関数の合成を、かけ算と類似の記法を使います。しかし、普通のかけ算と違って、乗法の交換法則も成り立ちません。しかし、重要なことは、結合法則が成り立つことです。このように、関数の合成をかけ算と類似の記法を使った場合、
g(f(x))=x
はどのように書き表すことができますか。
gf=1
となりますね。ｇはｆの逆関数であることはすぐにわかると思います。ここで、ｆは逆関数の存在する関数でなければなりません。簡単な記法では、gf=1ですから、g=f^(-1)と書くのが自然であることが理解できるのではないでしょうか。

補足

f(x)=2x g(x)=x/2 としてみると　f(g(x))=x
となりました!!

☆というと合成関数g(f(x))=x　というのはg(x)とf(x)は逆関数ということをあらわしているのでしょうか？

>>g(f(x))=x
はどのように書き表すことができますか。
gf=1 となりますね
とありますが・・・　g(f(x))=gf　ではないのでしょうか？
☆なぜg(f(x))=x　と　gf=1 の右辺が違うのでしょうか・・・？
おねがいします

回答No.5

ojisan7

あまり、詳しく、説明すると高校の範囲を超えますので、回答は、ここに記すことだけ、とさせてもらいます。

>☆というと合成関数g(f(x))=x　というのはg(x)とf(x)は逆関数ということをあらわしているのでしょうか？

そうです。g(f(x))=xを満たすｇをｆの逆関数と定義するのです。

>☆なぜg(f(x))=x　と　gf=1 の右辺が違うのでしょうか・・・？　

このことを理解するには、F(x)=xという関数を考えてみればよいでしょう。任意の関数Ｇと関数Ｆとの合成関数ＧＦは、
G(F(x))=G(x)
となりますね。これを、簡単な記法で書くと、
GF=G
となりますから、
F=1
となります。ここで、なにげなく１と書きましたが、この１は数ではありません。１という関数なのです。
これ以上の説明は、高校生には無用の混乱をまねくおそれがありますので、あえて、説明はしません。

お礼

わかりました、ありがとうございます！

回答No.3

ymmasayan

単なる約束と思えばいいでしょう。
sin^-1ｘがアークサインというのと同じ考え方でしょう。

お礼

アークサイン・・・？ですね（＾＾；汗

回答No.2

ryouou

本当は、写像という概念が導入されています。

ただ高校生ということで、今現在は高校で写像の概念をするところはほとんど無いと思うので、無しでもいいですが。

＞＞fの右上に-1がついていたら、逆関数をあらわしますよ
これは、むしろ逆です。逆関数を表すのに、右上に-1をつけるということです。

そしてこの場合（逆関数）の「-1」は、｛インバース（inverse）｝といい、マイナス一乗という意味ではないですね☆
Plz_teach_meさんが言われているように、記号ですね。
それから、
＞＞、「fの右上に-1がついていたら、逆関数をあらわしますよ！」
というのは少し間違いがあります。
高校では（というか一般的には）、関数はｆ｛ファンクション（function）｝を用いて表しますが、２つ以上の関数を表すときは、ｆだけでなく他の英字も用います。
変数を基本的にｘ，ｙなどで表すが、ｚやｗなども使うのと同じです☆

また、関数ｆ（ｘ）の「ー１乗」を書きたい場合は、
｛ｆ（ｘ）｝^（－１）
とします（＾＾）

お礼

あ！インバースっていうんでしたね！
行列のときに、逆行列のときにもでてきたので思い出しました！　ありがとうございます！

回答No.1

lv4u

そうですね、単なる「記号」それも「あいまい」なもの、って位置づけでいいようですよ。「場面に応じて（逆数と）読み分ける能力」が必要みたいです。（「オイラーの贈り物」のP.61を参照しました）
数学の表記法は、それ自体が学者のアイデアみたいで「簡単に分かり易く、かっこよく」という基準？で、おなじ演算でも、異なる表記法が使われることもよくあるようです。

お礼

ありがとうございます！