サイコロをｎ回ふる 期待値の問題

質問

サイコロをｎ回振って出た目の数の和を2乗した値をS_nとし、S_nの期待値をE_nとする。
(1)E_2を求めよ。
(2)E_nを求めよ
(3)lim(n→∞)E_n/n^2を求めよ。

(1)は表を書いてひたすら計算したところ、329/6となりました。これは正しいでしょうか？
(2)S_nの求め方がよくわかりません。
ヒントやアドバイスをいただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

1_saint · ベストアンサー

(1)については329/6で正しいと思います。
解き方ですが、サイコロの目をX_1～X_nとするとS_2 = (X_1+X_2)^2になります。
展開するとX_1^2+X_2^2+2*X_1*X_2となります。
E(X_1^2) = E(X_2^2) = 1/6*(1^2+2^2+…+6^2) = 91/6
E(2*X_1*X_2) = 2E(X_1*X_2)=2E(X_1)E(X_2)=2*7/2*7/2=49/2
以上からE_2 = E(S_2) = 91/6+91/6+49/2=329/6となります。
(2)についてもこれを拡張すればできると思います。
S_n=(X_1+X_2+…+X_n)^2なので、展開すれば
S_n=X_1^2+X_2^2+…+X_n^2+2*X_1*X_2+2*X_1*X_3+…+2*X_(n-1)*X_n　となります。
あとはE(X_1^2)=E(X_2^2)=…　とE(X_1*X_2)=E(X_1*X_3)=…　を使えば計算できると思います。
(3)は(2)を解くと簡単に計算できるようです。

回答No.3

F_P_E

#2のものです。

ヤマといっておきながら、自分で計算ミスっていました＾＾；ごめんなさい。＃１の方と計算が合わないんで焦っていました。。。

正しいE_nの答えは

E_n = n*(49n/4 + 35/12)

です。

混乱させて申し訳なかったです。

回答No.2

F_P_E

はじめまして。

なかなかおもしろい問題ですね。（１）はあなたが解いたように地道にやってもできるので、（２）から考えていきましょう。

n回目に出た目の数をA_nとしましょう。すると、S_nは

S_n = (A_1 + … + A_n)^2

となります。また、1回目にA_1の目を、2回目にA_2の目を、・・・、n回目にA_nの目を出すような確率を

P(A_1,…,A_n)

としましょう。このときE_nは

E_n = Σ_(A_1)…Σ_(A_n) S_n*P(A_1,…,A_n)

となりますね。ここで、Σ_(A_n)はA_nについての和を表します。

ここで、この問題の面白いところはP(A_1,…,A_n)が瞬時に分かってしまうことです。つまり・・・

P(A_1,…,A_n) = (1/6)^n

ですね。したがって、表向きは確率の問題なのですが、数列の問題に帰着してしまいます。つまりE_nは

E_n = (1/6)^n * Σ_(A_1)…Σ_(A_n) (A_1 + … + A_n)^2

となります。あとはこの和の部分を計算するだけです！。。。しかしこの和の計算がきっとこの問題のヤマでしょう。

とりあえず、ヒントということで、ここまでにしておきますね。

E_nの答えだけは書いておきます；

E_n = (n^2 * 2^(n-2) * 3^n * 7^2)/6^n

です。（2）が分かれば、（３）なんてあっという間です！

がんばってください。