何故×や÷が＋や－より先にやるのか。

質問

小学一年から算数数学が全く不得意で、大学も文系でした。６４歳の現在でも、タイトルに書いたことが理解できません。「いまさらいい歳で」の躊躇を振り切ってお尋ねいたした次第です。どうかわかりやすく教えてください。わかりやすい解説書も教えてください。

回答No.16

ryn · ベストアンサー

No.10 です．

分配法則が成り立たなくなってしまうという書き方はよくなかったみたいですね．
通常の数学での分配法則に相当する
実用的な「全く別の」分配法則を作ることが出来ない，ということです．

回答者どうしでやり取りしてるだけだと失礼なので，
足し算が先だとまずい現実的な例を挙げておきます．

100[m^2] の土地に縦10[m]横5[m]の土地を加えると
全部で面積がいくらになるかというようなときに
　100 + 10×5
という計算をしますが，単位を考えると
10[m]×5[m]を計算することで50[m^2]という面積の単位になり
めでたく最初にあった100[m^2]の土地に加えることが出来るようになります．

お礼

二度にわたるご懇篤なご回答ありがとうございます。具体的であってイメージしやすいと思います。

回答No.17

qqqqqhf

僕も分配法則から説明します。

(a+b)*c=(a*c)+(b*c)
c*(a+b)=(c*a)+(c*b)

ですが、*を先にするという法則があると、

(a+b)*c=a*c+b*c
c*(a+b)=c*a+c*b

となり、カッコが８個なくなります。
もし、+を先にするという法則があると、

a+b*c=(a*c)+(b*c)
c*a+b=(c*a)+(c*b)

となり、カッコが４個しかなくなりません。
どっちが便利？

でも、集合の演算∩と∪では、優先の法則はありません。
それは

A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）

のように、∩と∪が対等だからでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。「集合」は習ったことがありませんが、式の展開でのご説明はイメージできました。

回答No.15

kaduno

他の回答者とは意見が異なるのですが『単位』について考えられると直ぐにわかると思います。

問題：時速50kmで走行する車と、２時間に10km進む車のスピードの差は？

とあった場合、50(km/h)－10(km)÷２(h)という式になります。

ここで、50(km/h)－10(km)という引き算は出来ません。
何故なら単位が異なるからです。
10(km)÷２(h)という割算は、５(km/h)となり、単位が変わるのは理解出来ますでしょうか。

そして、50(km/h)－５(km/h)は単位が同じになるので、引き算が出来るようになります。

このように、数字だけでなく、単位に関して考えると、何故掛算・割算が優先されるか理解出来ると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。「単位」の概念導入には、目から鱗の思いをしました。

回答No.14

ryn

> この法則自体が×を先にやると言うルールの上の法則です。
そういうわけではないと思います．
ある集合に対して任意の2つの演算が定義されていれば
考えることのできる法則の1つです．

> ＋を先にと言うルールだったら
> 違う法則が出来ていたと思われます。
実際に違う法則を作ろうとしても
実用的な法則を作れないので掛け算を先にしないと
役に立つ数学が出来なかったということですね．
そして，実用的な法則を作れない理由はというと
×という記号が＋という演算を複数回繰り返したものの
略記法になっているからというところに行き着くと思います．

お礼

ご回答ありがとうございます。「実用的な法則をつくれない」には、はっとする思いを抱きました。

回答No.13

Tacosan

個人的には「そんなきまりだから」と割り切ってしまうのがいいと思う.
コンピュータのプログラム言語の中には「そんなきまり」になっていないものもあって, でも特段困ることもないので.
ちなみに「分配法則～」は「どちらを優先するか」と「何の何に対する分配法則か」を混同したために生じた誤解だと思う. 「+」を「×」より優先するきまりだとしても, 「乗法に対する加法の分配法則」は成立しない. なぜなら, 「全く別のもの」だから.

お礼

ご回答ありがとうございます。後段のご説明は、皆様のいろいろなご回答の流れのなかで、じっくり考えさせていただきます。

回答No.12

mmk2000

大学時代に文系でいらっしゃったということもあり、数学に関しては特に詳しく学ばれたわけではないようなので、確かに分かりづらい内容かと思います。

自分も記憶を掘り返して概略を説明させていただきますと、
＋、－、×、÷というものを「演算」と言いますが、これらはすべて同じ性質を持っているかと言うと違います。
たとえばすべての自然数に関して＋、×は計算できますが、-は計算できません。（４－６が自然数にならないから）
すべての整数に関して＋、-,×は計算できますが、÷は計算できません。（１÷３は整数にならない）
すべての有理数に関して＋、－、×、÷は（分母が０の場合を除いて）計算できますね。
つまり、演算によって、どういう数字を扱うか性質がばらばらなのです。
これらは代数学の「群」「環」「体」などである程度学ぶことと思います。
そこで、2つの異なる性質を持つ演算を計算式としてもつばあい、それぞれの四則演算の法則を破綻させずに計算をするために×や÷を優先して計算してるんだと考えます。
この「破綻させずに」を説明するのはもっとながいせつめいになっちゃいそうですね…

お礼

ご回答ありがとうございます。私なりの幼稚なレベルであろうとも「破綻させずに」は皆様のご回答の流れの中で、理解に努めていきたいとぞんじます。

回答No.11

CHIPDALE77

NO1です。NO10さんの意見に疑問・・・
分配法則を例に出されていますが
この法則自体が×を先にやると言うルールの上の
法則です。＋を先にと言うルールだったら
違う法則が出来ていたと思われます。

お礼

思いがけない発想のありかたを如実に拝見致して、
幼稚なレベルながらも知的興奮を覚えました。感謝いたします。

回答No.10

ryn

ルールだからという解答がちらほら見られますが，
では，足し算引き算のほうを先に計算するというルールに
決めることも出来たのかというとそうではありません．

例えば，通常の分配法則は
　(2+3)×2 = 2×2 + 3×2
ですが，足し算のほうを先に計算するルールだった場合の
分配法則は
　(2×3)+2 = (2+2)×(3+2)
のようになり
　(左辺) = 6+2 = 8
　(右辺) = 4×5 = 20
となってしまい，分配法則を成り立たなくなってしまいます．

この理由は No.6 さんの仰るとおりで，
掛け算というものは足し算の繰り返しとして定義されており，
×の記号は＋を複数回行うことを簡略化した記号となっているからです．

質問者さん向けのリンクではないですが，
　http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
の内容を読んでわからなければ怪しい回答を書いてしまうことになります．
本当はどっちでも良かったんだけど，
たまたま掛け算を先と決めたのだというような単純な問題ではありません．

お礼

ご回答ありがとうございます。ＵＲＬも拝読いたしました。歯が立たない内容でしたが、関心を引かれました。じっくり再読いたします。

回答No.9

debut

例えば、５０円切手１枚と８０円切手５枚を買ったとき、代金はいくら
になるか？という場面を考えてみれば、頭の中では自動的に８０円切手
５枚分を先に数えて(たぶん８０円を５回足し算するひとはいないと思う
ので、これは普通は掛け算)から、最後に５０円を足すことをするのでは
ないでしょうか？
式にすれば、５０＋８０×５＝５０＋４００＝４５０。
同じ種類をまとめるという作業が掛け算で、合計するという作業が足し算
とみられます。同じ種類をまとめるという作業を先に行って、それから
総合するのが合理的ではないのでしょうか。というか、この例の場合では
足し算を先にする理由がないです。理由がないからしないということに
なりますか。

÷は×と同義ですから、同じことがいえます。

お礼

わかりやすいご回答ありがとうございます。小学校のころに、こういう解説に出会っていたらなとふと思いました。でもいたずら小僧でしたから、やはりわからないままだったのかもしれません。

回答No.8

8942

たとえば　８÷４－２×５＋１＝
という問題を掛け算と割り算を先にやる方法と
足し算と引き算を先にやる方法とでは出てくる答えが
違ってくるからです。
掛け算割り算を先にすると
８÷４－２×５＋１＝２－１０＋１＝－７
足し算、引き算を先にすると
８÷４－２×５＋１＝８÷２×６＝２４

　人によって計算結果が違うのでは計算の意味がないので、掛け算と割り算を先にやるという世界共通のルールを決めているのでしょう。

別に世界中の人がそうすると決めるなら足し算と引き算を先にするでも
かまわないと思いますよ。

お礼

後段はおもしろい発想のご回答だと思いました。前半はわかりやすくて参考になりました。いづれも感謝もうしあげます。

回答No.7

kakuritsu

＃１、＃４さんと同様、
それがルールだからとしかいいようがないです。

サッカーでゴールしたらなぜ２点ではなく１点の得点なのか？
野球でホームラン打ったらなぜ即、得点になるのか？
それが何故か、理解しようったって理解できるはずがないですよね。先人がそうしようって決めただけですから。

＃５、＃６さんの回答は意味不明です。

お礼

ご回答ありがとうございます。そういう発想ができませんでしたから、おもしろいと思いました。