ベクトルと複素数と行列と一次変換について

質問

自分は新課程で数学を学んだので、一次変換というものを知りません。
ただ、大学以降で数学を学ぶうちに、行列がグラフの変換を表すためにちょくちょく出てきますし、またベクトルの表記が行列のような形になってますし、それが複素数と絡んだり、と自分としては非常にこんがらがってしまいますので、なんとか関連性を見つけたいと思っています。

そこで、非常に漠然とした質問で申し訳ないのですが、ベクトルと複素数と行列は表記が違うだけでほぼ同じものととらえてもよろしいのでしょうか？
また一次変換という操作を行う際に必要なものがベクトル、複素数、行列、と考えて正しいでしょうか？

実はそういった疑問をはじめに持った理由はマンガ「東京大学物語」1巻第3回で教卓の中から主人公がヒロインへ助言するシーンで「xy平面への正射影」と言うのですが、自分は一切そう言う事を学ばなかったのでもしかしたらよくいう一次変換というものかな、と考えたのです。そしてそれを調べれば調べるほど行列やベクトルがわんさかでるものですから、もしかしたら、と思い質問いたしました。
幾何学的意味も考えず数値計算だけでしか理解してない自分の知識の浅さに嘆いたものです。

よろしければ参照できるサイトのURLなども教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

mangou-kutta

結論から言うと、ベクトル、複素数、行列の定義と性質をそれぞれきちんと学んで、それから関連、類似性を学ぶほうが良いです。

そうしないと最初から一緒くたにすると
＞ベクトルと複素数と行列は表記が違うだけでほぼ同じものととらえてもよろしいのでしょうか？
という相当無茶なことを言うことになります。

ベクトルについては
定義:方向と大きさをもつ量
を定め和の定義、内積の定義、成分表示、外積の定義などを考えていきます。

複素数についても
定義:α＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂは実数、ｉは虚数単位）
を定め和の定義、積の定義を定めていきます。

行列についても同様。

例えば
ベクトルの成分表示と複素数については
和に関しては全く同じ構造を持っています。
(ｘ→)＝(ａ1，ｂ1)
(ｙ→)＝(ａ2，ｂ2)のとき
(ｘ→)+(ｙ→)
＝(ａ1+ａ2，ｂ1+ｂ2)
であり
α＝a1+b1ｉ,β＝a2+b2ｉのとき
α＋β
＝(a1+a2)+(b1+b2)ｉ
という風に同じ構造です。
ベクトル平面、複素平面でも一致します。

ところが積になると、かなりの違いがあります。
(ｘ→)・(ｙ→)
＝a1a2+b1b2
という実数になりますし
αβ
＝(a1a2-b1b2)+(a1b2+b2a1)ｉ
という複素数になります。
そう単純なものではないでしょ。

さらに一次変換の行列というのは
2次空間で言うなら
平面状の（全ての）点をある規則で移すその規則を行列であらわしたものになります。
点(x1,y1)が点(x2,y2)に変換する一次変換の行列をＡとするなら
ｑ＝Ａｐの形の式で表されるということです。

まずは、ベクトル、複素数、行列ともそれぞれ順序だてて定義、性質をしっかりつかんでいくことが重要であり、関連等を調べるのはずっと後で良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

自分としては参考書や問題集などをみるとき、直線と方程式の問題なのに当たり前のごとく「この変換は行列をつかって○○とあらわせる」などと書いてあるのをみるたびに、その必然性とも言うべきか、関連性ともいうべきもの、言ってみればまったく関係のなさげなものが突然出てくる不快感のようなものを感じておりました。

根源で何かがつながっていたとしてもそれはひとつの手法として覚えてしまい、あとあと理解するときがきたらラッキーくらいに考えます。

ありがとうございました。