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sigma(k=1～∞) ( k・2^(-k) ) の計算
sigma(k=1～∞) ( k・2^(-k) ) の計算方法を教えてください。 sigmaのkの動く範囲が1～∞で、 その範囲で( k・2^(-k) )を足し合わせるという式です。 -k乗は2だけにかかっています。
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※以下の「k~」は「kの上に~(チルダ)が乗った記号」で、k~ = -kです フーリエ解析の本で、積分変数を-kからk~に変える部分で 本と自分の計算とで符号が合わないので、どこが間違っているのかご指摘願います。 （因みに、本の計算は、次の節の計算と辻褄が合うので、正しいようです。） まず、問題部分だけを、本に載っているまま書きます： ∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分 自分の計算では： ∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←ここまでは同じ ∫[-∞,0]を∫[0,∞]にする（kの符号が反転する） = ∫[0,∞] F(-k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk F(-k) = F*(k) (式5.24)を適用する = ∫[0,∞] F*(k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk -kをk~に変える = ∫[0,∞] F*(k) e^{i(k~)t} dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←F*()内がk~ではなくk、e^()内が正なので合わない 全体像を書きます： a(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt (式5.21a) b(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt (式5.21b) 複素フーリエ級数のときと同様に、複素数を導入する。まず、 F(k) = 2{a(k) - i*b(k)} (式5.22) によって、複素数の値をとる関数F(k)を定義する。この式に(式5.21)とオイラーの公式(式3.3)を使うと、 F(k) = ∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt - i∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt = ∫[-∞,∞] f(t) e^(-ikt) dt (式5.23) を得る。この(式5.23)を使って関数f(t)からF(k)を求めることを、関数f(t)のフーリエ変換と呼ぶ。また、(式5.23)で計算される関数F(k)をf(t)のフーリエ変換と呼んでもよい。更に、a(k), b(k)は0以上の実数に対してのみ定義されていたが、フーリエ変換F(k)は負の実数のkに対しても定義されていると仮定すると、(式5.23)でkを-kに変えることにより F(-k) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(ikt) dt を得る。 ここで、f(t)は実関数であるとしているので、f(t) e^(ikt)はf(t) e^(-ikt)の複素共役となる。ゆえに、これらの関数を積分して得られるF(-k)とF(k)も互いに複素共役の関係にある。すなわち、 F(-k) = F*(k) (式5.24) の関係式が成り立つ。 次に、F(k) e^(ikt)をkについて-∞から∞まで積分すると、 ∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分 となる。 ここで第1項の積分変数をk~ = -kに変え、(式5.24)を使った。 …以上、引用終わり。 どこで符号を間違えているのか教えて下さい。宜しくお願いします。
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