- ベストアンサー
k=1のときcos(1-k)
k=1のとき (1/2)∫[-T/2,T/2] cos(1-k) t dt =(1/2)∫[-T/2,T/2] 1 dt =T/2 と本に書いてあるんですが、 cos(1-1) = cos(0) = 1 で元々のtは消えないので =(1/2)∫[-T/2,T/2] t dt じゃないですか？ でも、計算結果はT/2になるべきところなので、私の勘違いだと思います。その勘違いをご指摘下さい。お願いします。
- futureworld
- お礼率91% (326/357)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
cos(1-k) * t ではなくて cos((1-k)*t) ではないのですか？
関連するQ&A
- |t| フーリエ級数展開
1/π∫(-π→0)(-t)*sin(nt)dtを計算したところ、1/n*cos(nπ) 1/π∫(0→π)(t)*sin(nt)dtを計算したところ、 -1/n*cos(nπ)になり、f(t)にまとめることができません。 計算結果は、1/π∫(-π→0)(-t)*cos(nt)dtと1/π∫(0→π)(t)*cos(nt)dtのように、一致すると思うのですが、 1/π∫(-π→0)(-t)*sin(nt)dtと、1/π∫(0→π)(t)*sin(nt)dtの計算過程を教えてください。 どなたかお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分変数を-kからk~に変える計算ができません
※以下の「k~」は「kの上に~(チルダ)が乗った記号」で、k~ = -kです フーリエ解析の本で、積分変数を-kからk~に変える部分で 本と自分の計算とで符号が合わないので、どこが間違っているのかご指摘願います。 （因みに、本の計算は、次の節の計算と辻褄が合うので、正しいようです。） まず、問題部分だけを、本に載っているまま書きます： ∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分 自分の計算では： ∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←ここまでは同じ ∫[-∞,0]を∫[0,∞]にする（kの符号が反転する） = ∫[0,∞] F(-k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk F(-k) = F*(k) (式5.24)を適用する = ∫[0,∞] F*(k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk -kをk~に変える = ∫[0,∞] F*(k) e^{i(k~)t} dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←F*()内がk~ではなくk、e^()内が正なので合わない 全体像を書きます： a(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt (式5.21a) b(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt (式5.21b) 複素フーリエ級数のときと同様に、複素数を導入する。まず、 F(k) = 2{a(k) - i*b(k)} (式5.22) によって、複素数の値をとる関数F(k)を定義する。この式に(式5.21)とオイラーの公式(式3.3)を使うと、 F(k) = ∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt - i∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt = ∫[-∞,∞] f(t) e^(-ikt) dt (式5.23) を得る。この(式5.23)を使って関数f(t)からF(k)を求めることを、関数f(t)のフーリエ変換と呼ぶ。また、(式5.23)で計算される関数F(k)をf(t)のフーリエ変換と呼んでもよい。更に、a(k), b(k)は0以上の実数に対してのみ定義されていたが、フーリエ変換F(k)は負の実数のkに対しても定義されていると仮定すると、(式5.23)でkを-kに変えることにより F(-k) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(ikt) dt を得る。 ここで、f(t)は実関数であるとしているので、f(t) e^(ikt)はf(t) e^(-ikt)の複素共役となる。ゆえに、これらの関数を積分して得られるF(-k)とF(k)も互いに複素共役の関係にある。すなわち、 F(-k) = F*(k) (式5.24) の関係式が成り立つ。 次に、F(k) e^(ikt)をkについて-∞から∞まで積分すると、 ∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk = ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分 となる。 ここで第1項の積分変数をk~ = -kに変え、(式5.24)を使った。 …以上、引用終わり。 どこで符号を間違えているのか教えて下さい。宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- exp(-t/T)cos(ωt)のフーリエ変換について教えてください。
フーリエ変換について質問です。 exp(-t/T)cos(ωt)のフーリエ変換に行き詰っています。積分区間は-∞→∞で ∫exp(-t/T)cos(ωt)exp(-iωt)dt (T,ωは定数）としてexp(-iωt)=cos(ωt)-isin(ωt)を利用して ∫exp(-t/T){cos(ωt)}^2dt-i∫exp(-t/T)cos(ωt)sin(ωt)dt =1/2[∫exp(-t/T){cos(2ωt)+1}dt-i∫exp(-t/T)sin(2ωt)dt] と変形し、それぞれの項について部分積分を試みたのですが、最終的に発散してしまい答えにたどり着きません。 また、答えは実数部が吸収型、虚数部が分散型のピークのグラフが描けるはずなので、どこかで超関数を用いなければならないと思うのですが、どこで使うのかも分かりません。 どなたか、よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 定積分の変数変換 うまくできない。
∫[0 -∞]g(t)cos(2πft)dt =∫[0 ∞]g(-t)cos(2πf(-t))d(-t) =∫[∞ 0]g(t)cos(2πft)dt この計算式の２行目から３行目の計算がよく分かりません。 どなたか補足していただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sin、cosの相互相関係数
f(t) = sin(t)、g(t) = cos(t) とするとき f(t)、g(t)の相互相関係数を求めたいのですが E{x(t)y(t)} = ∫sin(t)cos(t)dt = (1/2)∫sin(2t)dt (t：0→2π) を計算すると0になりました これが分子にくるので、結果0が答えとなるのですが 周期をずらせば一致する関数なので これはおかしいと思っています 正しい解答を教えてください よろしくお願いします 分母は E{x(t)^2} = π E{y(t)^2} = π となりましたので √π * √πでπとなりました
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分
f(t)=|cos(t)|の複素フーリエ級数展開求める問題を解いてて次の積分がでて解いていたんですが Ck=1/π{∫[-T/2,T/2]cos(t)*e^(-j2kt)dt} =1/π{∫[-T/2,T/2](e^jt+e^(-jt)) / 2*e^(-j2kt)dt} =1/2π{∫[-T/2,T/2](e^j(1-2k)t + e^-j(1+2k)t)dt} =1/2π[{e^j(1-2k)t}/{j(1-2k)} - {e^-j(1+2k)t}/{j(1+2k)}][-T/2,T/2] とここまで出してこの先からの値を代入したあと式の整理の仕方がわかりません どなたかお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【数学】なぜT/cosθを求めるのにcosθ=ta
【数学】なぜT/cosθを求めるのにcosθ=tan^-1d/hにしてc=cosθ/hにして計算するのですか？ なぜcosθを求めるのにtanθ^-1にしてまたcosθに戻す必要があるのか教えてください。
- ベストアンサー
- 物理学
- 積分（三角関数）の絶対値の外し方について
∫［0,(n+1/2)π］t|cos(t)|dt=∫［0,1/2π］t|cos(t)|dt+Σ［k=1,ｎ］∫［(k-1/2)π、(k+1/2)π］t|cos(t)|dt というような式変換がありました。（ｋ，nはともに自然数） どのような式変換でこのような形になったのかがわかりません。 何をしたのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
その通りでした。 元々はcos(t-kt)でした。 たとえ本には書いてなくても私は括弧を書いた方が良さそうですね…。 ありがとうございました！