積分変数を-kからk~に変える計算ができません
※以下の「k~」は「kの上に~(チルダ)が乗った記号」で、k~ = -kです
フーリエ解析の本で、積分変数を-kからk~に変える部分で
本と自分の計算とで符号が合わないので、どこが間違っているのかご指摘願います。
（因みに、本の計算は、次の節の計算と辻褄が合うので、正しいようです。）
まず、問題部分だけを、本に載っているまま書きます：
∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分
自分の計算では：
∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←ここまでは同じ
∫[-∞,0]を∫[0,∞]にする（kの符号が反転する）
= ∫[0,∞] F(-k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
F(-k) = F*(k) (式5.24)を適用する
= ∫[0,∞] F*(k) e^{i(-k)t} dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
-kをk~に変える
= ∫[0,∞] F*(k) e^{i(k~)t} dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←F*()内がk~ではなくk、e^()内が正なので合わない
全体像を書きます：
a(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt (式5.21a)
b(k) = (1/2)∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt (式5.21b)
複素フーリエ級数のときと同様に、複素数を導入する。まず、
F(k) = 2{a(k) - i*b(k)} (式5.22)
によって、複素数の値をとる関数F(k)を定義する。この式に(式5.21)とオイラーの公式(式3.3)を使うと、
F(k)
= ∫[-∞,∞] f(t) cos kt dt - i∫[-∞,∞] f(t) sin kt dt
= ∫[-∞,∞] f(t) e^(-ikt) dt (式5.23)
を得る。この(式5.23)を使って関数f(t)からF(k)を求めることを、関数f(t)のフーリエ変換と呼ぶ。また、(式5.23)で計算される関数F(k)をf(t)のフーリエ変換と呼んでもよい。更に、a(k), b(k)は0以上の実数に対してのみ定義されていたが、フーリエ変換F(k)は負の実数のkに対しても定義されていると仮定すると、(式5.23)でkを-kに変えることにより
F(-k) = ∫[-∞,∞] f(t) e^(ikt) dt
を得る。
ここで、f(t)は実関数であるとしているので、f(t) e^(ikt)はf(t) e^(-ikt)の複素共役となる。ゆえに、これらの関数を積分して得られるF(-k)とF(k)も互いに複素共役の関係にある。すなわち、
F(-k) = F*(k) (式5.24)
の関係式が成り立つ。
次に、F(k) e^(ikt)をkについて-∞から∞まで積分すると、
∫[-∞,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[-∞,0] F(k) e^(ikt) dk + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk
= ∫[0,∞] F*(k~) e^(-i(k~)t) dk~ + ∫[0,∞] F(k) e^(ikt) dk ←問題の部分
となる。
ここで第1項の積分変数をk~ = -kに変え、(式5.24)を使った。
…以上、引用終わり。
どこで符号を間違えているのか教えて下さい。宜しくお願いします。
お礼
その通りでした。 元々はcos(t-kt)でした。 たとえ本には書いてなくても私は括弧を書いた方が良さそうですね…。 ありがとうございました！