フーリエ係数の計算とは?
- フーリエ係数の計算方法について質問があります。
- anの積分範囲と∫δ(t)cos(2πn・fs・t)dt=1について疑問があります。
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フーリエ係数の計算
「Excelで学ぶ理論と技術 フーリエ変換入門」の記載事項に関する質問です。 δΔt(t)=Σδ(t-kΔt) (k=-∞ ~ ∞) と定義したとき この関数をフーリエ級数展開は,偶関数のため bn=0 an=(2/T)∫g(t)cos(2πnt/T)dt (積分範囲 0~T) サンプリング周波数 fs=1/Δtとすると an=(2/Δt)∫δΔt(t)cos(2πn・fs・t)dt 以下の積分範囲は(-Δt/2~Δt/2) =(2/Δt)∫[Σδ(t-kΔt) (k=-∞ ~ ∞)]cos(2πn・fs・t)dt =(2/Δt)∫δ(t)cos(2πn・fs・t)dt =(2/Δt) 質問はここからです。 1 anの積分範囲が 0~T が -Δt/2~Δt/2 に変わってしまっているのはなぜでしょう。 2 ∫δ(t)cos(2πn・fs・t)dt=1になる理由(どうやって積分しているのかという計算の過程)が分かりません。 御回答をいただける方はいらっしゃるでしょうか。
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> 1 anの積分範囲が 0~T が -Δt/2~Δt/2 に変わってしまっているのはなぜでしょう。 「変わってしまっている」というよりも, > an=(2/T)∫g(t)cos(2πnt/T)dt (積分範囲 0~T) は周期Tをもつ周期関数についての一般論であって, 関数 δΔt(t) の場合はその周期がΔtであるので, 上の一般論の式において T = Δt, g(t) = δΔt(t) とすると, a[n] = (2/Δt) ∫[0,Δt] δΔt(t) cos(2πn・fs・t) dt となるわけですが,周期 Δt をもつ関数を[0,Δt]上で積分しようが,少しずらして[-Δt/2,Δt/2]上で積分しようが同じ値になるので,積分区間をずらして a[n] = (2/Δt) ∫[-Δt/2,Δt/2] δΔt(t) cos(2πn・fs・t) dt にしただけです. > 2 ∫δ(t)cos(2πn・fs・t)dt=1になる理由(どうやって積分しているのかという計算の過程)が分かりません。 計算というか,一般にδ関数について ∫[0を含む区間] δ(t) f(t) dt = f(0) が成り立ちます. # 質問1において積分区間をずらしたのは,積分区間内に確実に0を収めてしまうため. つまりδ関数はt = 0の値のみを抜き出す作用を持つ超関数なのです. ですので, ∫[-Δt/2,Δt/2] δ(t) cos(2πn・fs・t) dt = cos(2πn・fs・0) = 1.
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お礼
早速,丁寧な回答をいただきましてありがとうございました。 積分区間に関しては,御指摘の通り周期2πのsin関数があった場合, ∫[-π,π]sinθdθ=[(-cos(π))-(-cos(-π))]=0 ∫[0,2π]sinθdθ=[(-cos(π))-(-cos(0))]=0 ※グラフを描けば一発で分かりますね。 δ関数に関しては,t=0の値を抜き出す超関数という言葉がありましたが,全く意味が分かっていませんでした。御指摘いただいたおかげで式の概念が理解できました。 大変助かりました。ありがとうございました。