パイプに収容された３芯ケーブルの座標

質問

皆様、ご指導ください。
パイプに中に俵積みされた３芯のケーブルが収容されているとして、それぞれの中心位置の座標を求める式を教えて下さい。以下条件
・パイプの半径をＲとする。
・ケーブルの半径をｒとする。
・パイプの中心を基準点Ｏとする。
・ケーブルは必ず下相２相上に１相が乗っている状態　でパイプの下面に接触しているものとする。
※イメージ図として○：パイプ∴：ケーブルの中心
　○の中に∴が入っているような状態です。
宜しくお願いいたします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

やっぱりボケていました。
θなど介さずに三平方の定理で求められました。
ＯＯ3＝Ｒ－ｒなので、　△ＯＭＯ3（ＭはＯ2Ｏ3とｙ軸の交点）
で三平方の定理を使えば、ＯＭ＝√(Ｒ^2－２ｒＲ)でした。
よってただちに、
Ｏ1＝(０,(√３)ｒ－√(Ｒ^2－２ｒＲ))
Ｏ2＝(－ｒ,－√(Ｒ^2－２ｒＲ))
Ｏ3＝(ｒ,－√(Ｒ^2－２ｒＲ))

回答No.2

debut

＞パイプとケーブルの間に隙間がある状態

　ちょっと複雑になりますが・・
　y軸の取り方はNo1の回答と同じにして、大きい円の中心Ｏが先ほど
　より上になります。で、その位置は、x軸と線分ＯＯ3となす角をθ
　(この角度はあとで述べますが、Ｒとｒによって決定されます）
　とすると、ＯＯ3＝ｒ/cosθ、ＯＭ＝ｒtanθ（Ｍは先ほどと同じＯ2Ｏ3
　とy軸の交点、つまりＯ2Ｏ3の中点です）、
　Ｏ1Ｏ＝(√３)ｒ－ｒtanθ＝(√３－tanθ)ｒとなります。
　したがって、円の中心の座標は
　Ｏ1＝(０,(√３－tanθ)ｒ)、Ｏ2＝(－ｒ,－ｒtanθ)、
　Ｏ3＝(ｒ,－ｒtanθ)　・・・☆　となります。

　Ｏから下右円と大きい円との接点までの長さがＲだから、
　Ｒ＝ｒ＋(ｒ/cosθ)＝(１＋１/cosθ)ｒで、1/cosθ＝(Ｒ/ｒ)－１。
　(tanθ)^2＋１＝1/(cosθ)^2　という三角関数の関係式より、
　(tanθ)^2＝(Ｒ^2－２ｒＲ)/ｒ^2。
　よって、(０°＜θ＜９０°と考えて)　tanθ＝{√(Ｒ^2－２ｒＲ)}/ｒ。

　これを☆の座標に代入すると　ｒとＲだけで表せると思います。

　とここまで、先ほどの流れで書いてきましたが、何かもっと簡単な
　求め方があるような感じがします。暑くて頭がまわりません。
　ごめんなさい。

回答No.1

debut

２個の円の上に１個が俵積みになった状態で、y軸をその上に乗った
円の中心を通るように決めますので。
３つの円の中心を結ぶと１辺２ｒの正三角形ができます。そして、
大きい円の中心Ｏはこの正三角形の重心になります。
１辺２ｒの正三角形の中線は三平方の定理より、(√３)ｒ。
重心は中線を２：１に分けるので、上、下左、下右の円の中心を
それぞれＯ1,Ｏ2,Ｏ3とし、y軸と線分Ｏ2Ｏ3との交点をＭとすれば
Ｏ1Ｏ＝(２√３/３)ｒ、ＯＭ＝(√３/３)ｒとなります。
よって、Ｏ1,Ｏ2,Ｏ3の座標はそれぞれ、(０,(２√３/３)ｒ)、
(－ｒ,－(√３/３)ｒ)、(ｒ、－(√３/３)ｒ)となります。

一方、ｒとＲの関係は　例えばＯから上の円の端までを考えると
Ｒ＝ｒ＋(２√３/３)ｒなので、ｒ＝{３/(３＋２√３)}Ｒから有理化して
ｒ＝(２√３－３)Ｒと表せます。

よって、求める座標は、さきほどの座標に代入して、
Ｏ1＝(０,(４－２√３)Ｒ)、
Ｏ2＝((－２√３＋３)Ｒ,(√３－２)Ｒ)、
Ｏ3＝((２√３－３)Ｒ,(√３－２)Ｒ)　となるかと思います。
図をかいて　たどってみてください。
また、ｘ、ｙ軸を勝手に決めたので、違う場合は変換すればよいと思い
ます。

補足

debut様。
迅速な対応をありがとうございます。
一点条件に漏れがありました。
・Ｒ≠ｒ＋(２√３/３)ｒの場合はどうでしょう？
すなわちパイプに接しているのは下左と下右の円のみで、パイプとケーブルの間に隙間がある状態です。
宜しくお願いいたします。