微積分の問題：正確な面積を求める方法
- KとLが正の定数であるとき、正のX軸とグラフ y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2)との間の全体の領域の正確な面積を微積分学の基本定理を用いて求めなさい。
- 問題の解法は不定積分を使います。不定積分の結果を計算機で出力し、KとLが具体的な値でないため最終的な計算方法については不明です。解法を知っている方、教えてください。
- 問題の原文は英語で書かれていますが、日本語訳をみながら解法を考えましょう。
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微積分の問題 y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2)
微積分の問題です。問題は英語で書かれています。 原文: Find the exact area using the Fundamental Theorem of Calculus for the entire region between the positive x-axis and the graph of y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2) for K and L positive constants. 日本語訳: KとLが正の定数であるとき、正のX軸とグラフ y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2)との間の全体の領域の正確な面積を微積分学の基本定理を用いて求めなさい (と訳してみました)。 まず、Anti-derivative(不定積分)をしてみました。 ∫Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2) dx Kx^3 ∫e^(-x^4) + L arctan(x) これは僕の計算機が出した答えです。 ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x)になるのは知っていますが もう片側は果たしてこれでいいのかどうか…。 しかもKとLが数字ではないので、これからどうすればいいのか分かりません。 どなたか、この問題の解法を教えてください。 では、よろしくお願いします。
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K,L は正の定数というだけしかわかっていませんから， 結果も K,L を含んだものになります． 被積分関数の (1) Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2) は x>0 でずっと正ですから，積分領域は０から無限大までです． x →∞ のとき，主要部分は第２項で，x^(-2) のように振る舞いますから， 無限大まで積分してもちゃんと収束します． L/(1+x^2) の不定積分はおっしゃる様に arctan(x) ですが， 第１項の方がまずいですよ．定数の K はおいといて (2) ∫{0～∞} x^3 e^(-x^4) dx の計算ですから，x^3 だけ勝手に前に出しちゃっちゃいけません． (3) y = x^4 とでもおけば， (4) dy = 4x^3 dx ですから， (5) (2) = (1/4)∫{0～∞} e^(-y) dy で，直ちに積分値がわかります． あとはお任せします． 最終結果は (1/4)K + (1/2)Lπ です．
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