マクスウェルの関係式を使った応用
- マクスウェルの関係式を用いて、完全気体において(∂U/∂V)_T = 0と(∂H/∂P)_T = 0が成り立つことを証明する方法について教えてください。
- 完全気体の内部エネルギーUとエンタルピーHは温度Tのみの関数であるため、(∂U/∂V)_T = 0と(∂H/∂P)_T = 0が成り立つことが分かる。しかし、どのように証明すれば良いか分からない。また、マクスウェルの関係式にはエントロピーSが含まれているため、混乱している。
- マクスウェルの関係式を用いて完全気体において(∂U/∂V)_T = 0と(∂H/∂P)_T = 0が成り立つことを証明したい。しかし、どのように証明すればよいか分からない。また、マクスウェルの関係式にはエントロピーSが含まれており、混乱している。アドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
マクスウェルの関係式を使った応用
マクスウェルの関係式 (∂S/∂V)_T = (∂P/∂T)_V (∂S/∂P)_T = -(∂V/∂T)_P を用いて完全気体において (∂U/∂V)_T = 0 (∂H/∂P)_T = 0 が成り立つことを証明しろ、という問題があるのですが、どのように証明すればよいのか分かりません。 完全気体なら内部エネルギーU、エンタルピーHは温度Tのみの関数なのでこの２式が成り立つのは分かるのですが、証明しろといわれると分かりません・・・。 しかも証明する式にはエントロピーSはないのにマクスウェルの関係式にはSが含まれておりこんなのでどうやって証明できるのだろう？？と混乱状態です。もしかしたらdS≧dq/Tをつかうのかな？と思ってみたのですがどうもうまくいきません。どのように手をつけていいのかすら分からない状況です。 どなたかお分かりになる方、些細なことでも結構ですのでアドバイスをいただければ幸いです。
- Phis
- お礼率92% (71/77)
- 物理学
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
熱力学第一法則より dQ=dU＋pdV これを使うと思います。 また、UとかPとかH等の状態量が出てきたり、 マクスウェルの関係式を使ったりする場合 可逆過程が前提です。 つまり、dS≧dQ/Tという不可逆過程を含む式ではなくdS=dQ/Tという可逆過程のみの式が成り立ちます。 よって、TdS=dU＋PdV⇒dU=TdS-PdV 一方dU=(∂U/∂V)_TdV＋(∂U/∂T)_VdT これを代入すると、 TdS=(∂U/∂V)_TdV＋(∂U/∂T)_VdT＋PdV これを両辺Tで割ったものと dS=(∂S/∂V)_TdV＋(∂S/∂T)_VdT が等しいと置いてdVの係数を比べます。 (1/T){(∂U/∂V)_T＋P}=(∂S/∂V)_T あとはマクスウェルの関係式を使い (∂U/∂V)_T=T(∂P/∂T)_V-P これに状態方程式PV=nRTを使うだけです。 エンタルピーの場合もH=U＋PVですから、 同様にTdS=dU＋PdVとdHの全微分の式を使えば 出来ると思います。
関連するQ&A
- マクスウェルの関係式の応用
大学で理系のものです。 マクスウェルの関係式についての問題なのですが、ほとんど分からない状態です・・・。 問 マクスウェルの関係式を使って (a) （∂S/∂V)tと(∂V/∂S)p (b) （∂p/∂S)vと(∂V/∂S)p を熱容量、膨張率αと等温圧縮率Ktで表せ という問題です。 （∂S/∂V)tは変換と連鎖式を使ってα/Ktになることは分かったのですが、他はどのように変数にSの入った式を変換していけばいいのかさっぱりで・・・。 すみませんがどなたかお助けください。 お願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 定圧比熱-定積比熱と理想気体の関係
dU= -pdV+dQ dU= (∂U/∂T)_v dT + (∂U/∂V)_t dV を用いて次の問いに答えよ (1)dUを消してdQの関係式を示せ dQ=(∂U/∂T)_v dT + (∂U/∂V)_t dV+pdV ＝(∂U/∂T)_v dT + ((∂U/∂V)_t+p) dV はいいのですが次の問題です (2)Cv=(dQ/dT)_v Cp=(dQ/dT)pを表す式を(1)の結果から示せ とありました。 Cvは定積比熱より dV=0 それとdQ= nCvdTより Ｃv = (∂U/∂T)_v と求めました。 しかし、 Cpの求め方が解説を見て余計分からなくなりました。 pをＶ、Ｔの関数とみる立場からＶをp,Ｔの関数に見る立場に変えて dV = (∂V/∂T)_p dT を(1)に用いて (∂U/∂T)_v dT + ((∂U/∂V)_t+p) (∂V/∂T)_p dT という式に変えてました。 dV = (∂V/∂T)_p dT の説明の意味がわかりません。どうしてdVをこのように変形しなければならないのかそして恥ずかしいことにこの変形の説明の意味が解りませんでした。 どこをpをV,Tの関数と見る立場でどうしてVをp,Tの関数に見る立場に変えなければならないのでしょうか。 そして最後は(4)の問題で 1モルでの理想気体のCp-Cvを求めよ。そしてこれはＲを気体定数としてみたし、また内部エネルギーは体積に依存しないことを用いよ という問題で理想気体ではＵがＶによらないので この偏微分はゼロになり、理想気体の状態方程式からＶ＝RT/p から (∂V/∂T)p =R/p よってこれを式に当てはめると (0+p)R/p=R となっていました。 式を代入してこのＲになることは解ったのですが、なぜ内部エネルギーが理想気体では体積によらないのか。そして定圧と定績の引き算でＲとでましたがどうしてこの引き算の結果が理想気体の状態方程式を満たす式になるのかという根本的なことがわかりません。 ながながと書いてしまいましたが御教授のほど、よろしくお願い申し上げます。
- ベストアンサー
- 物理学
- 熱力学 ボイルシャルル・全微分
熱力学を教えてください。この答えと合っているか見てください。あと、この問題をレポートとして提出するのですが、模範解答をお願いします。 （問題１）Ｓ（Ｔ，Ｖ）の全微分と ｄＱ＝ｄＵ+Ｐ ｄＶ の関係を比較することにより、 式１が成り立つことを示せ。 （問題２）ボイル・シャルルの法則が成り立つと仮定すると上式から式２になることを示せ。 ｄQ=TdS=ｄＵ+Ｐ ｄＶ TｄS=dU+PdV=(∂U/∂T)dT+（∂U/∂V)ｄV)+PdV =(∂U/∂T)dT+(（∂U/∂V)+P)dV T∂S/∂T=(∂U/∂T) T∂S/∂V=∂U/∂V)+P ∂U/∂V=T∂S/∂V-P F=U-TS dF=dU-TdS-SdT=-pdV-SdT [-∂2F/∂V∂T=]∂p/∂T=∂S/∂V [Maxwellの関係式] ∂U/∂V=T∂P/∂T-P PV=RT ∂P/∂T=R/V=P/T T∂P/∂T=P ∂U/∂V=P-P=0 お願いします
- ベストアンサー
- 物理学
- 熱力学―エントロピーの導出について
熱力学―エントロピーの導出について 熱力学が苦手でつまずいているのですが・・・ この問題の詳しい答えを教えてください。 「nモルの気体からなる閉じた系が圧力P,体積V,温度T,の状態にある。 この系の準静的変化を考えて,系のエントロピーを導出したい。 閉じた系内の気体の状態方程式は次式で表される。 {P+(an^2/v^2)}(V-nb)=nRT また,この気体の内部エネルギーUは次式で表される。 U=CT-a(n^2/V) Rは気体定数,a,bおよびCはいずれも定数である。 温度T0,体積V0の基準状態でのエントロピーをS0とすれば, 温度T,体積V,のときのエントロピーSはどのように表されるか。」 ・・・面倒かもしれませんが詳しい導出の手順をお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 熱力学に関する問題が解けません
温度T,圧力p,体積v,内部エネルギーu,エントロピーs,エンタルピーhとし、体積変化だけが仕事に関係する。また系は準静的である 熱力学第一法則をもとに、独立な状態量をp,Tとおくことによって Tds={(∂h/∂p)T -v}dp+(∂h/∂T)p dT となることを示せ。またこれをもとに (∂h/∂p)T =v-T(∂v/∂T)p となることを示せ。 という問題です。自分で途中まで解いてみたんですが上式を導けません。誰か教えてください。お願いします。 下に途中まで解いた結果を書きます。 du=(∂u/∂P)T dP+(∂u/∂T)p dT ・・・(1) Tds=du+pdv であり(1)を代入 Tds=(∂u/∂p)T dp+(∂u/∂T)p dT+pdv ・・・(2) u=h-pv より(2)に代入 するところから間違っていると思います。 ちなみに( )のすぐ隣の文字は下文字です。( )T←下文字
- ベストアンサー
- 物理学
- (∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P
大学の講義で (∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P をマクスウェルを使わずに証明していたのですが 写真の？の部分の意味がわからないです… 教えてくださいm(__)m
- ベストアンサー
- 物理学
- 熱力学のエントロピーに関する質問
温度TをU,V,Nの関数と見なし、エントロピーS（T,V,N)をS~(U,V,N)と書くとき、∂S~(U,V,N)/∂V=p(T,V,N)/Tとなることを示すという問題に関して質問です。 テキストに載っている導出は、 p=-∂F(T,V,N)/∂V=T{∂S(T,V,N)/∂V+∂T(U,V,N)/∂V・∂S(T,V,N)/∂T}=T∂S~(U,V,N)/∂V というものです。 ここで、2番目の等号が成り立つのは何故かがどうしても分かりません。 どのような計算過程を経てこうなるのかを教えていただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 物理学
- マイヤーの関係式について
マイヤーの関係式を導くときに、 U＝U（T,V）の全微分をし、 UがＩ・Ｇの時にはVに依存しないので dU= (dU/dT)v dTとなり、 Cv=(dU/dT)vより、dU=Cv・dT dU=dQ-P・dVを代入して dQ=Cv・dT+P・dV =Cv・dT+d(PV)-V・dP・・・ となるのですが、 この最後の所がなぜ d(PV)-V・dP になったのかわかりません。 どうか、宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- マクスウェルの関係式について
先日マクスウェルの関係式の導出について習いました。 (wikipedia) http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82%E5%BC%8F 教官は「これらの式を使えば間接的にエントロピーを求めることが出来る。」と話していたのですが、いまいちその意味がよく分かりません。 どのようにしてこれらの式からエントロピーを求めるのでしょうか？ どなたかお分かりになる方、ご教授いただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 物理学
お礼
なるほど、このようにとけばいいのですか。 よく分かりました。本当に助かりました。 ありがとうございました。