フーリエ変換

質問

フーリエ変換では、－∞から∞までの積分がありますが,関数に|x|が入っている場合－∞から０まで積分したものと、０から∞まで積分したものの和にするのか、場合分けしてx<0のときとx>0の時で分けてやるのか、どっちなのか教えてください。お願いします。
私は、－∞から∞まで積分するので足すべきだと思うのですが・・・。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

被積分関数に｜x｜が入っているなら、
例によって場合わけするだけです。つまり、-∞<x<0で
被積分関数の｜x｜のところを｜x｜→-xとし、
0≦x<∞で｜x｜→xとして積分すればいいです。

具体的にやれば、例えばf(x)=｜x｜をフーリエ変換したいなら、F(k)=∫｜x｜e^-ikxdx[x=-∞～∞]
=-∫xe^-ikxdx[x=-∞～0]＋∫xe^-ikxdx[x=0～∞]

補足

ありがとうございました。もうひとつ質問なのですが、ある本で、
x<0のとき・・・
x>0のとき・・・
と場合わけして書いているのですが、これは間違いということなのですよね？

回答No.2

betagamma

場合わけして書いてあるというのは、積分区間が-∞から∞で、-∞～0と0~∞に場合わけしたあと、両者を足していないということですか？

その本を読んでみないと詳しくはわかりませんが・・・もし、その通りであるとすれば、数式の上では間違いですね。フーリエ変換に関しては、厳密でない記述もたくさん見つかりますので、本が間違っていることも普通に考えられます。

ただ、フーリエ変換を拡張した、ラプラス変換だと、積分区間を0~∞として定義するので、後で説明するために場合わけしてるとか。

http://ja.wikipedia.org/wiki/ラプラス変換

実用上は、積分区間を0~∞にすれば事足りたりしますからね。

お礼

回答ありがとうございます。本では足していないので間違っているようです。