フーリエ変換

質問

1/rのフーリエ変換をおしえてください。
部分積分してもだめでした。

回答No.3

keyguy · ベストアンサー

1/tのフーリエ変換ではなく

g(f,ξ,η)=
∫∫∫dxdydz・exp(-j・2・π・(f・x+ξ・y+η・z))/√(x^2+y^2+z^2)

を求めるのですね?

この場合
x=r・sin(θ)・cos(φ)
y=r・sin(θ)・sin(φ)
z=r・cos(θ)
と置換します
(ヤコビアン行列式をかけるとにより簡単になる)
そしてrで0から∞まで積分するとexpが消えます
そして2つの項に分けそれぞれ
tan(θ/2)=tと置換しθで0からπまで積分し
tan(φ/2)=sと置換しφで0から2・πまで積分します

回答No.2

keyguy

訂正版

g(f)=∫・dt・exp(-j・2・π・f・t)/t
=-2・j・∫(0<t<∞)・dt・sin(2・π・f・t)/t
(奇関数部は0だから偶関数部だけ)
あとは
∫(0<x<∞)・dx・sin(x)/x
が分かればOK
これを求めるには
exp(j・z)/z
を-R→-r→r→R→-Rで周回複素積分したものが0を使う
ここで-r→rとR→-Rは上半平面の半円で他は直線
そしてr→0,R→∞とすれば良い

回答No.1

keyguy

g(f)=∫・dt・exp(-j・2・π・f・t)/t
=-2・j・∫(0<t<∞)・dt・sin(2・π・f・t)/t
(奇関数部は0だから偶関数部だけ)
あとは
∫(0<x<∞)・dx・sin(x)/x
が分かればOK
これを求めるには
exp(j・z)/z
を-R→-r→r→R→-Rで周回複素積分したものが0を使う
ここで-r→rとR→-Rは上半平面の半円で他は直線
そしてr,R→∞とすれば良い