- ベストアンサー
数学的帰納法？
すべての馬は同じ色をしている。 この事実は、与えられた集合の馬の数に関する帰納法で証明することが出来る。 ＜証明＞ もしも馬が１頭しかいなかった場合、それは自分自身と同色である。したがって帰納法の基底は自明である。 帰納段階に関しては、全部でｎ頭の馬がいるとして、それに番号１からｎをつけておく。 帰納法の仮定によって番号１からｎ－１の馬は同色であり、同様に番号２からｎの馬も同色である。しかしここで、２からｎ－１の中間の番号の馬は、この議論の途中でその色を変えることはできない。なぜなら、馬はカメレオンではないからである。そたｋがって、１とｎまでの馬も同色でなければならない。こうしてｎ頭の馬すべてが同色であることを証明できた。 ↑誤りがあるらしいのですが、発見できません。というか問題の意味がよくわかりません。。。何かヒントでもかまわないので、いただけないでしょうか？
- monkey-bridge
- お礼率0% (0/32)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- すべての馬は同色である。
不思議な数学の問題を宿題に出されました。形式論理の落とし穴を習ったのですが…。バカみたいな質問でごめんなさい。教えてほしいです。 「すべての馬は同色である」ことを数学的帰納法によって証明します。 ［定理］任意のｎについて、ｎ頭の馬は同色である。 ［証明］ ｎ＝１のとき、定理が正しいことは明らか。 ｋ頭の馬は同色であると仮定して、ｋ＋１頭の馬が同色であることを言う。 いまｋ頭の馬に番号１からｋをつける。 すると仮定によりこれらｋ頭の馬は同色である。 ここで１番の馬を外し、別の馬を連れてきてｋ＋１番とすると、番号２からｋ＋１のｋ頭の馬も仮定により同色である。 よってこのｋ＋１頭の馬はすべて同色である。 実際にはそんなことはあり得ません。上の証明のどこが誤りですか？？教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法の手品
▼証明すべき命題 白黒の碁石を多数混ぜて積み上げた山がある。この山から無造作にいくつかの石をつかみ取ると、その中には入るのは同色（白石のみか、または黒石のみ）である。 証明 (1)つかんだ石が１個の場合確かに成り立つ。 (2)n 個のとき成り立つと仮定する。 ここで n+1 個の碁石をつかんだとして、この内の1個を一応除くと (2) によりすべて同色でなければならない。次に除外した石を元に戻し他の石を除いてみるとやはり同様に同色でなければならない。よって手の中の碁石はすべて同色である。 この証明は数学的帰納法を誤って運用したもので、その誤りを指摘できないようでは数学的センスがないのだそうです。 「碁石を n+1 個つかむ」操作自体が何となく胡散臭い気がしますが。 数学的センスがゼロの私にぜひわかりやすく教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法について
数学的帰納法について質問があります。 数学的帰納法の問題で http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive_method3.htm のnが〇以上（〇には具体的な数値が入ります）のとき 証明せよ の問題の解き方は理解できるのですが考え方に不明な点があります。 __________________________________________________ 数学的帰納法は (I) n=1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する． (II) n=k のとき（Ａ）が成り立つことを仮定する． その仮定を使って n=k+1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する． __________________________________________________ とのことですがkは任意に自然数として理解をしていましたがこの考え方をすると、 nが〇以上の時について証明せよ。において (I) n=〇のとき（Ａ）が成り立つことを証明する． (II) n=kのとき（ｋ＞＝〇）（Ａ）が成り立つことを仮定する の（ｋ＞＝〇）の条件を書く必要があるのかがわかりません。 すなわち、 私が考えているのは、 (I) n=〇のとき証明できたのだから (II) n=kのとき（ｋ＞＝〇）ではなくn=kのとき（ｋ＞＝〇+１） と何故書かないのかということに疑問があります。 そのため、 すべての自然数 n について，次の不等式が成り立つことを証明せよ． の問題では、 (I) n=1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する． (II) n=k のとき（ｋ＞＝１）（Ａ）が成り立つことを仮定する． と書かないのか という内容に混乱をしています。 これについて先生に尋ねてみたら すべての自然数において問題は自然数１から必ず行うものだから （ｋ＞＝１）というのは暗黙の了解である。 だから、書かなくていい といわれました。 この考え方にあまり納得いかないので、わかりやすく解説をしてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学的帰納法
nが自然数のとき、次の等式(＊)を数学的帰納法を用いて証明せよ。 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)・・・(＊) 今日、数学的帰納法を勉強すていて自分で回答をつくったのですが、これでいいのか見てもらえませんか？ 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1) (1)n＝1のとき、左辺2、右辺2、よって成り立つ (2)n＝kのとき 2＋4＋6＋…2k＝k(k＋1)・・・１ が成り立つと仮定すると n＝k＋1 2＋4＋6＋…2k＋2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)・・・2 が成り立つことを証明する 2＋4＋6＋…2k＋2(k＋1)＝k(k＋1)＋2(k＋1)・・・3 2と3の右辺が一致するので、(＊)は成り立つ (1)(2)より、すべてな自然数は成り立つ ・・・3のところを 2＋4＋6＋…2k＋2(k＋1)＝k(k＋1)＋2(k＋1) ＝(k＋1)(k＋2) ＝kの2乗＋3k＋2 よって成り立つ こうしてもよいのでしょうか 自分でつくったためあっているかわかりません 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法の考え方について
数学的帰納法の考え方が理解できません。 具体例として、Q(n)が、1以上のすべての整数について 成り立つことの証明を元に、理解できないポイントを下記に 挙げます。 Q(n)=1+3+5+7+・・・+(2n-1)=n^2 Q(1)=1=1^2 であるため成り立つ 次に、Q(k)が成り立つのであれば、Q(k+1) も成り立つことを証明する。 Q(k)=1+3+5+7+・・・+(2k-1)=k^2 と仮定する。 証明したい式は、k+1であるから、下記のようになる。 1+3+5+7+・・・+(2k-1)+(2×(k+1)-1)=(k+1)^2 ここで、Q(k+1) の左辺は、先に仮定した Q(k) を使うと、 Q(k+1) の左辺=1+3+5+7+・・・+(2k-1)+(2×(k+1)-1) =k^2 + (2×(k+1)-1) =k^2 + 2k +1 一方、Q(k+1) の右辺は下記のように計算できる。 Q(k+1) の右辺=(k+1)^2 =k^2 +2k +1 したがって、左辺と右辺が等しくなるため、 Q(n)は、1以上のすべての整数について成り立つ。 理解できないのは、Q(k) が成り立つことを仮定して Q(k+1) が 成り立つということが、なぜ主張の証明になるかが解りません。 というのも、Q(k) はこれから証明しようとする式であるのにも かかわらず、それを仮定してしまったら証明にならないと 思うからです。 当方、数学は明るくないので、記載に誤りがありましたら ご容赦ください。 是非とも、お知恵の拝借をお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法で困ってます！
授業で出された宿題が解けません（TへT)誰か教えて下さい。提出日は月曜なんですが・・・ 問1.すべての自然数ｎについて、次の等式が成り立つ事を数学的帰納法で証明しなさい。 4+8+12+16+・・・+4ｎ＝2ｎ(ｎ+1) …(1) [1] ｎ＝1の時、(1)の左辺は4であり、右辺は2×(1+1)＝4だから、(1)は成り立つ。 [2] ｎ＝kの時、(1)が成り立つとすれば、 4+8+12+16+・・・+4ｋ＝2ｋ(k＋1) …(2) と、ここまでは解けたのですが、ここからの変形がさっぱりです!！教科書を見てもよくわかりません。誰かわかりやすく教えて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法の証明
自然数に関する数学的帰納法の原理が自然数が整列集合であることと同値であるということはわかっていますが 次のように数学的帰納法を証明した場合どこに整列集合の性質が使われているor論法が間違っているのでしょうか。 数学的帰納法 自然数ｎに関する命題をP(n)とする （ⅰ）P(0)が成り立つ （ⅱ）すべての自然数ｎに対して、P(n)が成り立つならばP(n+1)も成り立つ この２条件が満たされているときP(n)はすべての自然数ｎについて成り立つ （論理記号でかくと（ⅱ）は(∀ｎ∈N（P(n)⇒P(n+1))だと思います） [証明] P(n)が成り立たないような集合をSとする Sが空集合である事を示せばP(n)がすべての自然数ｎについて成り立つ事になる Sが空集合でないと仮定するとｍ∈Sとなるようなｍが存在する このとき条件（ⅱ）を次のように書き換えて （II）すべての自然数ｎに対して、P(n+1)が成り立たないならばP(n)も成り立たない と考えると P(m)が成り立たないのでP(m-1)も成り立たないことになる このときP(m-1)が成り立たないのでP(m-2)も成り立たない 以下続けると結局 P(1)が成り立たないのでP(0)も成り立たないことになるが これは（ⅰ）に反する よってSが空集合でないという仮定が間違っていたことになる ゆえにSは空集合であり命題P(n)がすべての自然数ｎに対して成り立つことが示された
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法
今高校で数学的帰納法をやっているんですが、模範解答を見ても解き方がわからない問題があります。 お力貸してください。 nを自然数とするとき、数学的帰納法によって次の等式を証明せよ。 (n+1)(n+2)(n+3)……(2n)＝2のn乗×1×3×5×……×(2n－1) 模範解答・・・ [１]n＝１のとき、左辺＝1+1＝２、右辺＝２ より成り立つ。 [２]n＝kのとき与式が成り立つと仮定すると、 (k+1)(k+2)(k+3)……(k+k)＝2のn乗×1×3×5×……×(2k－1) ------------------------------------------------------------ ここまでは分かります。以下がわかりません。 この両辺に〔(k+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕を乗じると、（なんでここでこれを乗じるんですか??） 左辺＝(K+1)(K+2)(K+3)…(K+K)〔(K+1)+k〕〔(K+1)+(K+1)〕 （以下こんな感じです） 右辺＝・・・・・ k+1≠0より左辺と右辺を(K+1)で割ると、これはn＝k+1のときにも与式が成り立つことを示している [１][２]よりすべての自然数nに対し与式は成り立つ。 途中からがよくわかりません。分かる方いらしたら教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
