数学的帰納法の手品
- 白黒の碁石を多数混ぜて積み上げた山から、無造作にいくつかの石をつかみ取ると、その中には同色の石だけが入ることを証明します。
- この証明は数学的帰納法を用いて行われます。
- 数学的センスがない人でもわかりやすく説明します。
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数学的帰納法の手品
▼証明すべき命題 白黒の碁石を多数混ぜて積み上げた山がある。この山から無造作にいくつかの石をつかみ取ると、その中には入るのは同色（白石のみか、または黒石のみ）である。 証明 (1)つかんだ石が１個の場合確かに成り立つ。 (2)n 個のとき成り立つと仮定する。 ここで n+1 個の碁石をつかんだとして、この内の1個を一応除くと (2) によりすべて同色でなければならない。次に除外した石を元に戻し他の石を除いてみるとやはり同様に同色でなければならない。よって手の中の碁石はすべて同色である。 この証明は数学的帰納法を誤って運用したもので、その誤りを指摘できないようでは数学的センスがないのだそうです。 「碁石を n+1 個つかむ」操作自体が何となく胡散臭い気がしますが。 数学的センスがゼロの私にぜひわかりやすく教えてください。
- musume12
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- 数学・算数
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(1)つかんだ石が１個の場合確かに成り立つ。 (2)n=1個のとき成り立つと仮定する。 ここで 白1個 黒1個 合計 n+1=2 個の碁石をつかんだとして、 この内の 白1個 を一応除くと(2)の通りすべて 同(黒)色 である 次に除外した白石を元に戻し 他の石 黒1個 を除いてみるとやはり同様に 同(白)色 である だけれども 手の中の碁石は 白1個 黒1個 は同色ではない 最初の 「 同色 」 と 次の 「 同色 」 は 「 同色 」でないから誤り
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- tmpname
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別に数学的帰納法の適用法が間違っているわけではない。途中の論理展開がおかしいだけ。 つまり、(2)において、 「n+1個の碁石があって、その中の任意の1個を除外すれば残りのn個が全て同一色であるものとする。この時その n+1個の碁石は同一色である」 ことが証明できれば、（要は(2)の文章の最後の『よって』のところがきちんと証明出来れば）(2)も正しく、従って「証明すべき命題」は成り立ちます。 で、上のこと（つまり、(2) の文章の最後の『よって』のところ）が実は間違っている。というのも、n=1として、n+1=2個の碁石を持っているものとする。この時の碁石が黒1個、白1個とすると、この2個の碁石の内、任意の1個を除外すると、残りのn(=1) 個の石は同一色であるが、元々の2個の碁石は同一色でない。従って、(2)の『よって』以降の論理展開は、正しくない。 要は、『よって』とか書いてある所について、「本当にそうか？」と疑問に思わなくてはいけない。（世にある数学の本でも、「よって」という言葉以下の部分が間違っていることはよくあります）
- f272
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(2)は成立しない。言い換えると「よって手の中の碁石はすべて同色である」は成り立たない。 n=1の場合で考えてみれば明らかです。
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お礼
丁寧な回答まことにありがとうございました。他のお二方にもお礼申し上げます。 なかなか自力では思いつかないものです。