微分・積分について

質問

x^2+y^2+z^2=1のとき、xy+yz+zxの極値を求める方法を教えてください。

回答No.5

bigman · ベストアンサー

ｘ＝ｙ＝ｚ＝1/√３で最大値1になる所が分かりません⇒

x・y+y・z+z・x=x^2+y^2+z^2-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
より
f=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
従ってｘ＝ｙ＝ｚのときｆは最大値１をとらないかい？
それにｘ＝ｙ＝ｚならば
x^2+y^2+z^2=1より３・ｘ＾２＝１だからｘ＝±１／√（３）
ではないかい？

回答No.7

starflora

ヴェクトルの回転とか考えていたのですが、一般的問題はともかく、この問題では、そんな複雑な話は無用だという結論に達しました。従って、この問題を解くのに、必要以上に複雑な考え方は、間違いではないとしても、適切でないことになります。

　　x^2+y^2+z^2=1　というのは、三次元の球の式で、半径が１です。

　　他方、xy+yz+zx　は、ヴェクトル(x,y,z)と(y,z,x)の内積だと考えられます。この二つのヴェクトルＡ＝(x,y,z)とＢ＝(y,z,x)　共に、原点から球上の一点へと向かう単位ヴェクトルです。

　　f＝xy+yz+zx＝Ａ・Ｂ　は、ＡとＢが、球面上の一点で定義されている単位ヴェクトルであることからすると、最大値は、１であることは明白です。また、ｘ，ｙ，ｚもｆも連続量であることを考えると、これが極値であることも明白です。

　　ＡとＢのような条件の与えられた二つのヴェクトルの内積が１になるというのは、ＡとＢが同じヴェクトルの場合以外にありえません。（違うヴェクトルだと、内積は１より小さくなることは自明だからです）すると、x=y, y=z, z=x となります。つまり、x=y=z です。(x,y,z) が半径１の球面を定義する場合、明らかに、x^2+y^2+z^2＝3x^2＝1　で、x=+/-(√3)/3=y=z

　　これで回答になります。（微分などは使っていませんが、連続量関数の連続変化で、最大値がある場合は、これが極値であるということを使っています）。

　　回答は、最大極値は x=y=z=+/-(√3)/3

　　他方、最小極致は、(x+y+z)^2-1＝２ｆ　から、
　　ｆが最小になるのは、明らかに、x+y+z=0 の場合で、この時　ｆ＝－１／２
　　この値がｆの極小値ということも、ｆが連続量で、x,x z も連続量であることから自明。

　　中間の極値があるかないかは、(x+y+z)^2 の全微分を取ると、
　　2(x+y+z)(dx+dz+dy) となり、これがゼロになるのは、すでに述べた、極大値と極小値のケースで、それ以外に全微分がゼロになるケースはないので、極値は以上に述べた極大値と極小値のみ（つまり、(x+y+z)＝０か、(dx+dz+dy)＝０で、後者は、dx=dy=dz=0 で、こうなるのは、x=y=z の場合だけ。ここまで考えてしまうと、すでに出ている答えと同じことになってしまいますが。……(dx+dz+dy)＝０というのは、増分の係数次第で、-dx などもありえるが、すでに係数をまとめて外しているので、増分の合計ゼロとは、増分がゼロのことで、x,y,z,は、球面上の点という束縛はあっても自由な変数であるので、その増分が同じ値＝ゼロになるのは、三変数が独立変数でなく、増分も同じ、即ち、x=y=z となるのです。……厳密性に欠けるし、少しも簡単でないですね）。

回答No.6

bigman

Ｒを実数全体の集合としＤをＲ＾３の連結な開集合とする

連結：開集合が共通点を持たない２つの開集合に分割できないとき前記開集合は連結されているという

極小値の定義：
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とｇ（ｘ，ｙ，ｚ）はＤで定義されたＣ＾１級の実数値関数であり
（ｘ０，ｙ０，ｚ０）∈Ｄであり
Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）⊂Ｄは（ｘ０，ｙ０，ｚ０）の近傍であり
ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）＝０であり
（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）かつｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０である限り
ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）≦ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）であるＵ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）が存在するとき
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）においてｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という付帯条件の下で極小値をとるという

極大値の定義：
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とｇ（ｘ，ｙ，ｚ）はＤで定義されたＣ＾１級の実数値関数であり
（ｘ０，ｙ０，ｚ０）∈Ｄであり
Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）⊂Ｄは（ｘ０，ｙ０，ｚ０）の近傍であり
ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）＝０であり
（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）かつｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０である限り
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）≦ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）であるＵ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）が存在するとき
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）においてｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という付帯条件の下で極大値をとるという

ラグランジュの乗数法：
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とｇ（ｘ，ｙ，ｚ）はＤで定義されたＣ＾１級の実数値関数であり
∂ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｘ，∂ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｙ，∂ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｚが同時に０である（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｄが存在しないとする
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）においてｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という付帯条件の下で極大値または極小値をとるならば
∂ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｘ＝０かつ
∂ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｙ＝０かつ
∂ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｚ＝０
である実数λが存在する

すなわちラグランジュの乗数法におけるλの存在はあくまでもｆが極値を取るための必要条件であり十分条件でない

従って極値を求める手順として有力な手順を示すと
（１）
ラグランジュの乗数法でｆの極値の候補をすべて求める
（２）
その候補が本当に極値であるかどうかを吟味する

前記手順において十分条件を満たすかどうかを確認するＮｏ．１とＮｏ．３の前半の議論が利用される
従って決して取り下げてはならない

回答No.4

egkeladhos

No1は片方の解答しか考えていない片手落ちでした.取り下げます.

回答No.3

bigman

ｘ＝ｙ＝ｚ＝±１／√３で最大値１
ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で最小値－０．５
の間違いでした
つまり±を付けなかったようですね

回答No.2

bigman

x・y+y・z+z・x=x^2+y^2+z^2-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
より
f=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
Ｎｏ．１の結果を利用させて貰うと
f=((x+y+z))^2)/2 -1/2=1-((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
ｆはｘ＋ｙ＋ｚ＝０で最小値－０．５、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１／√３で最大値１

本当はラグランジュの乗数法を使うべきだと思うよ
λを未定乗数として
Ｆ＝ｘ・ｙ＋ｙ・ｚ＋ｚ・ｘ－λ・（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－１）として
∂Ｆ／∂ｘ＝∂Ｆ／∂ｙ＝∂Ｆ／∂ｚ＝∂Ｆ／∂λ＝０
より
λ＝１またはｘ＋ｙ＋ｚ＝０である
λ＝１のときはｘ＝ｙ＝ｚ＝１／√（３）である
そうするといっぺんに答えが出るだろう

補足

ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき、最小値―０．５というのは分かりましまた。
しかし、その後のｘ＝ｙ＝ｚ＝1/√３で最大値1になる所が
分かりません。何故、1/√3が出てくるのかなど。
本当に申し訳ありませんが、教えてもらえないでしょうか。

回答No.1

egkeladhos

f=xy+yz+zx
とする.

(x+y+z)^2　=　x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)
　　　　　 =　1 + 2f
f=((x+y+z))^2)/2 -1/2
第一項は二乗であるからx,y,zが実数であれば常に>=0
fの極値は従って=0の時.すなわちx+y+z=0の時で,極値は-1/2となる.