奇数が生成されないという証明。

質問

a,bは1を除く自然数。
nは自然数。

全てのnに対して

2n-1≠√(a×b+2)

ということは正しいでしょうか？

回答No.3

4951snk · ベストアンサー

No,2のものです。No,2で回答した部分に間違いがあったので訂正します。No,2の回答は削除していただけると嬉しいと思います。
　この問題は、√(a×b+2)が奇数になることはないかを示すということですね。
　2n-1＝√(a×b+2)　が成り立つかを調べればよいのです。
これを2乗して、右辺を左辺に移項すると4n^2-4n-(1+ab)=0　になります。
　nについて解くとn=1+√(2＋ab)/2
つまり、√(2+ab)が整数であれば、この式が成り立ちますので、(ab+2)が平方完成されればOKです。
　回答はNo,1さんのおっしゃるとおりです。確かめてみました。どうやって回答したのか過程が知りたいですね。
　ただ、あてはめまくるというのだったらお世辞にもいい問題にはならないでしょう。
　というわけで、No,2での誤答は失礼いたしました。

お礼

詳しい説明わかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.4

debut

奇数（３以上）の２乗から２を引いた数列を考え、これが１以外の２数の
積で表されれば否定されます。

7,23,47,79,119,167,223,・・・・（ちなみに、初項7、階差数列が
初項16公差8の等差数列、一般項は4n^2+4n-1）
例えば 119 ＝7×17
すると、a=7,b=17のとき、右辺11、左辺n=6のとき11。
途中までしか調べてないですが、他に287=7×41、527=17×31、などが
あります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

4951snk

この問題は、√(a×b+2)が奇数になることはないかを示すということですね。
　背理法で示すなら(つまり、反対のこと、ここでは2n-1＝√(a×b+2)が成り立つと仮定すること)
2n-1＝√(a×b+2)
これを2乗すると√がとれます。
右辺の2を左辺に移項すると4n^2-4n-1=ab　となります。
この4n^2-4n-1=ab　が成り立つかどうか調べるには
4n^2-4n-1=0としてに解の公式を代入し、自然数の解が出るかどうかを確かめればよいのです。（自然数がでれば因数分解できますよ。）
　ここで、nの解が自然数にならなければ、1以外の自然数で因数分解ができないので、aとbが1以外の自然数であることと矛盾しているので仮定が間違っている、つまり2n-1＝√(a×b+2)は間違いなので、全てのnに対して2n-1≠√(a×b+2)　は成立するのです。
　自然数になれば、aとbにあてはまりそうな式は、因数分解できたnの式から適当な数値を代入すれば2n-1≠√(a×b+2)の反例になります。
　これをヒントにがんばってください。

回答No.1

katadanaoki

偽です。
反例

n=30のとき、左辺＝59

a=7,b=497のとき、右辺＝59

お礼

ありがとうございました。