• ベストアンサー

1/2^xがどうして収束するのか

英語で数学を習っているのでちゃんとした数学用語になっていないかもしれません; 「1/2^xの限界が収束する」という答えは知っているのですが、 どうしてそうなるのかが分かりません。 単純に考えて 1/2、1/4、1/8・・・と小さくなっていく(0に近づく)からでしょうか? だとすると、1/a^x(aは数字)でa>1の場合 それは必ず収束するのでしょうか? 変な日本語になってしまっていたら申し訳ないです。 分かる方いらっしゃいましたら宜しくお願い致します。 (なるべく簡単に説明して頂けると助かります;)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#17350
noname#17350
回答No.1

(1/2)^xについての話でよろしいのでしょうか? xが大きくなるにつれて分母もどんどんと大きくなりますよね。 xが無限大に発散した時、同様に分母も無限大になります。 1/∞ = 0ですので、0に集束するというわけです。 これは、a>1の場合にのみ起こります。 aがわずかでも1より大きければ、xを増やして行く事で分母も増えていきますので。 a=1の時には、分母はxに関係なく1ですよね。 a<1の時には、xが増えるにい従って分母が小さくなっていきますので最終的には(1/a)^x = ∞となります。

ente1010
質問者

お礼

なるほど・・・!分かり易いご説明有難うございました! そうですよね、1/2^xは(1/2)^xと同じなんですよね。 考えれば考えるほど混乱していたのですが やっとスッキリしました!有難うございました(*´v`*)

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 関数値の収束について教えて

    基本情報の勉強のためこの掲示板を利用してます。 文系のぼくには理解できないため、 わかる方、数学お馬鹿のぼくにわかりやすく 教えてください。よろしくお願いしあす。 問題 実数型変数 x と y に対して,次の手続を実行していると,(3)で表示される 値が変化しなくなった。その値はどれか。 (1) 0 → x    ___ (2) √x + 2 → y (3) y の値を表示 (4) y → x (5) (2)に戻る  ア 0  イ 1  ウ 2  エ 4 答え ウ 問題集の解説では、n-1回目のループでは、     ____ Yn = √Yn-1 + 2 ↓ループ回数nを大きくしたときにYnがある値aに収束するの であれば、Yn+1もaに収束する。    __ a = √a+2 これを因数分解してa>0から、a = 2 などという解説がされていますが、 よくわかりません。 もっとわかりやすい解き方を ご存知の方よろしくお願いします。

  • 固有ベクトルは収束値なのでしょうか?

    お世話になります。 2次元のベクトルに2×2の行列を掛けることを考えます。 例えば 行列A = [1, 2, 2, -2] (成分は[左上, 右上, 左下, 右下] ) の固有値と固有ベクトルの組は、 ・λ1 = 2, x1 = (2, 1) ・λ2 = -3, x2 = (1, -2) です。 そして計算してみたところ、任意のベクトル(x1の実数倍を除く)は、 Aを無限回かけることによって、x2の実数倍に収束するようです。 そこで質問です。 (Q1) 一般に、任意のベクトルに行列を無限解掛けたときの収束値は、 その行列の固有ベクトルになるものなのでしょうか? そうだとすると、その理由をできれば直感的なイメージで ご教授いただけませんでしょうか? 難しければ数学的な説明でも結構です。 (Q2) (Q1)がYESだとした場合、複数ある固有ベクトルのうち、 どれが収束値になるかを見分ける方法は ありますでしょうか?なんとなく、固有値の絶対値が大きいもの なのかなという気がするのですが。。 以上、お手数をお掛け致しますが、ご教授いただけますと助かります。 よろしくお願い致します。

  • 収束 と 有界 について

    Gelfand-Mazurの定理の証明での途中で A:バナッハ体 x∈A λ:複素数 x(λ)=(x-λ)^(-1) <リゾルベント> (複素平面で定義されていてB環の元を価とする関数) ∥x(λ)∥=∥(x-λ)^(-1)∥=1/|λ|・∥(x/λ-1)^(-1)∥ λ→∞ →0・1=0 とあったのですが、1/|λ|が0に収束するのはわかるのですが、 ∥(x/λ-1)^(-1)∥が1に収束すると言う証明の仕方がわかりません。 考えればあたりまえなのですが、それをちゃんと式で証明すると言うのができずにもやもやしています。 また、上式からx(λ)が有界であるという結果を導けますが、 なぜ有界といえるのでしょうか。 収束する数列は有界というのがありますが、それは実数での話なので複素数となった時はどういう考え方をすればよいのかわかりません。 詳しく教えていただけると嬉しいですが、 こうやってみては?というアドバイスだけでも、何をどうしてよいのかわからない状態なので嬉しいです。 宜しくお願い致します。

  • 1/x→0(x→∞)の証明

    1/xのxを∞に限りなく近づけると0に収束することの証明を教えてください 実際にxに大きな値を入れていくとが0に近づく、という説明では数学的な証明になっておらず納得が出来ないのです 興味本位なので、理解できないとこも多々あり、何度も補足質問してしまう可能性があることをご了承ください

  • Σ_[n=1,∞]1/n^αの収束条件に付いて

    大学でほとんど数学を履修していなかったもので、無知な質問ですみません。現在、社会人であり公務員試験のため独学で勉強しております。 Σ_[n=1,∞]1/n^αの収束条件についてお聞きしたいです。 解答では、 1)α≦0のとき 2)0<α≦1のとき 3)α<1のとき で場合分けしています。 そこまでは分かるのですが、そこからy=x^-αとの大小関係で答を導いています(α=0のとき,α=1のときの解答は割愛)。 0<α<1のとき ∫[1,n]x^-αdx ≦Σ_[k=1,n-1]k^-α よりΣ_[k=1,n]k^-αは発散 α<1のとき Σ_[k=2,n]k^-αx ≦∫[1,n]x^-αdx =(n^(1-α)-1)/(α-1)≦1/(α-1) となりSnは上に有界であり、単調増大列となるため、収束する。 となっております。 分からないのは、 ・なぜ0<α<1の時とα<1の時とで、Σの範囲が違うのか。 ・上に有界であり、単調増大列ならばなぜ収束するのか。 の2点です。 宜しくお願い致します。

  • ベクトル列の収束

    ある定理の証明をしていた時に、 以下のことを使うとわかると途中の補足で出ていた事なのですが、 その補足でつまってしまいました。 どのようにして解けば良いのでしょうか。 宜しくお願い致します。 E:バナッハ空間 {x_n}:Eのベクトル列 {a_n}:実数列 ∥x_n∥≦a_n かつ Σa_nが収束(n=1~∞) ならば Σx_nも収束(n=1~∞)

  • この数学 教えてください(簡単です)

    添付した数字、電卓を使わないで答えを出す方法(というか、ルール)を教えてください。 0,5の3乗が 0,5×0,5×0,5なことは、わかります。 (日本語での数学の用語を忘れてしまっているため、自分で解き方を検索することができませんでした)

  • 収束半径の求め方

    y=a0Σn=0~∞(x^n/n!) 上記級数の収束半径を求めよという問題なのですが、 答えが、 r=lim n→∞|an/an+1|=lim n→∞(n+1)=∞ になることはわかっているのですが、 どのような考え方でこのようになるのかわかりません。 教えていただけましたら幸いです。 宜しくお願いいたします。

  • 微分係数の問題。

    微分係数の問題の解き方が分かりません。 日本語で授業を受けてないので説明とか用語が分からないのですが・・ f(x)=x^3-3x^2+2x-7 を、 f'(x)=Df(x)=D(x^3-3x^2+2x-7) といった感じで解く問題なのですが、自分で計算したところ、 f'(x)=3x^2-6x+2 とでたんですが、答えを見たら間違ってるようなんです。 ですので、解き方を教えてもらえたら嬉しいです。 もう1つの問題の、 g(y)=y^3-4ay^2+3a^3 を計算してみたら g'(y)=3y^2-8ay+9a^2 とでたんですが、答えは3y^2-8ayらしいんです。 どうやったら最後の9a^2が出ないのか・・何回も計算してみたんですけど同じ答えばっかりでます。 3つ目の v(s)=s^4-2√3s^3+s^2√2 は計算の仕方がよく分かりません。 √がある場合、どのように計算すればいのでしょうか?? 数学に詳しい方、ぜひお願いします!

  • 1/1-xの微分について質問です。

    1/1-xの微分について質問です。 (1-x)^-1にしてから微分をするということはわかったのですがどうしても答えが1/-(1-x)^2になってしまいます。 本当の答えは1/(1-x)^2なのですがマイナスはどうしてきえてしまっているのですか? あまり数学が得意ではないのでなるべく詳しく過程を説明してくださるとうれしいです。