- 締切済み
1/x→0(x→∞)の証明
1/xのxを∞に限りなく近づけると0に収束することの証明を教えてください 実際にxに大きな値を入れていくとが0に近づく、という説明では数学的な証明になっておらず納得が出来ないのです 興味本位なので、理解できないとこも多々あり、何度も補足質問してしまう可能性があることをご了承ください
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数4
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
みんなの回答
- eclipse2maven
- ベストアンサー率32% (33/101)
まず 1/x→0(x→∞) は、 任意の正の実数 ε に 対して ある正の実数 δ を とれば x >δ => |1/x|<ε が成り立つ というのが 正確な定義。(なぜこれが定義なのかは ε-δ論法とか 実数論 、あるいは位相空間論を勉強してください) だから まず ε を とってきます。 1/ε より 大きな 実数 δ をとります x>δ とすると x>1/ε よって 1/x < ε 従って |1/x|<ε これで 示されました。
- misumiss
- ベストアンサー率43% (24/55)
"1/xのxを∞に限りなく近づけると0に収束することの証明を教えてください," というご要望ですが、その前に, "1/x の x を ∞ に限りなく近づけると 0 に収束する," ことの定義を述べてください。 定義をせずに証明することは不可能です。
お礼
ありがとうございました
補足
すみません、私はしりません No.4さんの回答を見て、定義を理解しなくてはならないことが分かりました
- bgm38489
- ベストアンサー率29% (633/2168)
グラフを見ればわかるように、は、単なる補足説明で、反比例の関係にあるのなら、そして係数が正なら、こういう性質だ、といいたかったのです。 それとも、反比例の関係にあるとき、片方が大きくなれば、片方は0に近づく…ここまで証明せねばいけませんか?
お礼
ありがとうございました
補足
グラフはただの補足でしたか、失礼しました >反比例の関係にあるとき、片方が大きくなれば、片方は0に近づく…ここまで証明せねばいけませんか? 出来ればお願いします
- bgm38489
- ベストアンサー率29% (633/2168)
>>実際にxに大きな値を入れていくとが0に近づく、という説明では数学的な証明になっておらず納得が出来ないのです それが立派な証明なのですが…数学的、というならこんな証明はどうですか。 y=1/xとする。これは、xとyは、反比例の関係にある。 すなわち、反比例のグラフを見ればわかるように、xが限りなく大きくなれば、yは0に近づく。
補足
グラフは証明にならないと記憶しているのですが、グラフもOKなのでしょうか?
関連するQ&A
- 大学(専門)数学-参考書で証明が論理式・記号の羅列
私は、大学数学科以上向けの数学のある参考書を探しておりまして、 それは、定義・定理・証明が、殆ど、言葉でなく論理式・数学記号で書かれている物です。 多くの数学の参考書において、著者は、数学的現象を、論理式・数式・記号で説明できる所を初学者の理解の為に(?)日本語でウダウダと説明している事がよくあります。例えば、関数が連続である事を使う証明等の時、”∃δ∈(a,b)(|x-c|<δ⇒ウンタラカンタラ)"と言えばいい物を、"xが十分cに近い時,ウンタラカンタラ と出来る"と日本語で言う といった事です。私はこういうのがイヤです。 私は、数学理論・体系を日本語を通して理解するよりも、もっと、論理式・数式・記号等の羅列を通して理解したいのです。数理論理学のシーケントを用いた演繹みたいな感じで。。。 そういった参考書をご存知でしたら、本でもサイトでも構いませんので、是非ご教示ください。数学の分野なら何でも構いません。 上記の私の探している参考書が、どういうものであるのかを知って頂く為に、下に、私の勉強ノートのコピーをアップロードしたサイトへのURLを示させて頂きます(2011年06月27日現在): (1)http://www.megaupload.com/?d=73U56FA1 (2)http://www.megaupload.com/?d=WSA8F5MA それぞれのファイルに、次の証明に関する私の勉強ノートがあります。 (1);ツォルンの補題の証明。(「集合と位相」(斎藤毅 著)) (2);絶対収束級数は、任意に並び替えても同じ値に収束し、条件収束級数は、任意の実数に対し、ある並び替えによりその値に収束させれる、、という定理の証明。(「解析入門」(小平邦彦 著)) また、それぞれのファイルは、pdfファイルとなっており、その中が私の勉強ノートの複写となっております。 長々となりましたがどうか宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 1/2^xがどうして収束するのか
英語で数学を習っているのでちゃんとした数学用語になっていないかもしれません; 「1/2^xの限界が収束する」という答えは知っているのですが、 どうしてそうなるのかが分かりません。 単純に考えて 1/2、1/4、1/8・・・と小さくなっていく(0に近づく)からでしょうか? だとすると、1/a^x(aは数字)でa>1の場合 それは必ず収束するのでしょうか? 変な日本語になってしまっていたら申し訳ないです。 分かる方いらっしゃいましたら宜しくお願い致します。 (なるべく簡単に説明して頂けると助かります;)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- y=|x|の証明について
y=|x|は定義域を実際に持つ連続関数であることを示せ という問題なのですが、自分はx=0のときを考え f(0)=0より、 lim_x→0 f(x)=0を示す。 任意のε>0に対して、ある値δが存在して |x|<δならば、|f(x)-0|=|x|=|x|<δ<ε したがって連続である。 と回答しようと思ったのですが、一応連続関数であることは証明できていると思うのですが、定義域を実数に持つという所に関しては、どうしたらいいのかわかりません。 多分ε-δ論法で証明していくと思うのですが、どうしたらいいのでしょうか。 回答の程、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式 X2+Y2-4X-6Y+13≧0を証明せよ。また、等号がなり
不等式 X2+Y2-4X-6Y+13≧0を証明せよ。また、等号がなりたつはどのようなときか とゆう問題なんですが、説明など読んでも全く理解できません、どう解けばいいのでしょうか
- ベストアンサー
- その他(生活・暮らし)
- (x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C (x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C ※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C (x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C (x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C ですが、 なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう? はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、 イメージとしては、どう捉えればよいでしょう? 証明等は無くても構いませんので、 直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。 (もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の、美しい証明や興味深い証明など、
数学の、美しい証明や興味深い証明など、 面白い・意外と思えるようなものを、知っていたら教えてください。 自分は、フェルマーの最終定理は問題自体は簡単なのに、 証明されるまでに3世紀以上もかかった、という経緯が興味深くて好きです。 (証明自体はまったく理解できませんが…) こういうものも教えていただければ嬉しいです。 http://cos.cocolog-nifty.com/cosmos/2006/05/post_5231.html
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学 lim(n→∞)x/n=0
xが全実数のとき lim(n→∞)x/n=0 が成立することを説明してください。 数学の問題の解説中で証明なく使われていたのですが、いまいち理解できません。 xが全実数ならば、例えばx=nとすれば1になり、x=n^2とすれば∞になる気がするのですがどうでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- アキレスと亀のパラドックスについて
アキレスと亀のパラドックスについて質問です。 このパラドックスを説明するのにほとんどが無限等比級数を使って、説明していますが理解に苦しんでいます。ゼノンは今回出る無限等比級数の和を本当はある値に収束するのにもかかわらず無限であると勘違いしたんですよね。しかし仮に今回の無限等比級数の和がある値に収束したわかってたとしても、それは無限の操作をし終えてやっと追いつくんではないんですか?でも実際に無限の操作をし終えるというのは数学上でも現実ではありえないことです。でも現実ではおいついている・・・。もう訳がわかりません。どんなサイトでも、最終的に得意の無限等比級数を登場させて、「はい、収束するでしょう、だから追いつくのです。」と説明していますが、理解に苦しみます。 実際には中学一年生の速さの問題で出るような程度の数学で追いつく時間や距離が求まることは知っていますが・・・。でも実際追いつこうとしているときはゼノンが言っているとおり、毎回亀の位置にアキレスは到達しているし・・・。つまり距離自体は有限だが勝手にゼノンが無限分割しているだけだというのもわかりますが、実際追いつこうとするときその無限分割した点を通ってるし・・。 誰かご教授してください!!
- 締切済み
- 数学・算数
- |X-1|>2 のわかりやすい説明
小中学生相手に家庭教師しています。 今回は中三相手に数学を教えています。 絶対値の初歩のところで、|X|>3のとき、X<-3 3<X になることは、生徒が納得してくれました。 しかし、|X-1|>2の時の解を求める問題で、私は以下のように説明しました。 説明1 X-1>2もしくはX-1<-2 よって、X>3もしくはX>-1 説明2 |X-1|は数直線上で、Xが1よりどれくらい離れているかを示している。(これをX=-1や5を代入して計算し、また数直線上に書いて、|X-1|の計算結果がすう直線状でのXの1からの距離と等しくなることを、実際に示してみました。) したがって、|X-1|>2より、Xは数直線上で地点1から距離2以上離れている。 よって、X>3もしくはX<-1 説明3 絶対値は、絶対値の中が-の時はマイナスをかけて絶対値をはずし、|-5|=-(-5)=5、絶対値の中が+のときは、そのまま絶対値を外す。|6|=6 したがって、絶対値の中が+か-かで場合わけする。 (1)X-1>0のとき |X-1|=X-1>2 よって、X>3 (2)X-1<0のとき |X-1|=-(X-1)>2 よって、-1>X したがって、-1<Xもしくは3<X 説明1,2はわからず、説明3はわかったそうです。しかし、普段問題を解いているときにいちいち場合わけするのも大変なので、説明1、2もしくは他の短い解法で理解してほしいのですが、わかってもらえません。 説明1は説明3を短縮したものと同じ意味だと説明したのですが、釈然としないようです。 なにかわかりやすい解説を思いついた方がいらっしゃいましたら、教えてくれると助かります。 明日また教えに行くので、回答はお早めにお願い申し上げます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました
補足
なんで|1/x|がε未満だと0に収束するのか等よくわかりませんので、とりあえず調べて分からなければまた質問します