ベストアンサー 同次型 微分方程式 2006/05/09 23:21 微分方程式が同次型か、そうでないかはどのようにしてみわければいいのですか？ みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー tuort_sig ベストアンサー率19% (17/87) 2006/05/10 00:12 回答No.1 微分方程式dy/dx=f(x,y)について f(x,y)=f(γx,γy) （γ：任意）が成立するなら同次型 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 非同次線形微分方程式の解 非同次線形微分方程式の解は、 「同次線形微分方程式の一般解＋特殊解」 だと思うのですが、このとき、 「【同次線形微分方程式の一般解】は、非同次線形微分方程式の解である。」と言えるのでしょうか？ 同次形高階微分方程式について 同次形高階微分方程式について 同次形高階微分方程式の単元を読んでいますと、「y,dy,d2y について同次の場合」とか「x,dx について同次の場合」とあるのですが、式を見てy,dy,d2y について同次なのか、x,dx について同次なのか判断できません。具体的には、 xy(d2y/dx2)-x(dy/dx)^2+y(dy/dx)=0 はy,dy,d2y について２次の同次形で、x^2(d2y/dx2)+x(dy/dx)+y=0 はx,dx について０次の同次形 であるとありますが、どのように判断すればよろしいのでしょうか？ 同次形の微分方程式 教科書の同次形の微分方程式の例題の一つです。 (x+2y)dx+ydy=0を解け という問題で y=vxとおくとなぜdy=vdx+xdvといえるのでしょうか？ 教えてください。 線形非同次微分方程式の解法について 線形非同次微分方程式の一般解は 同次方程式の一般解＋特解 で求められるそうですが、何故、このようにして求められるかが分かりません。分かる方がいましたら教えてください。 同次形微分方程式の初歩的疑問です 同次形の微分方程式は分母が=0,≠0の場合分けしなくてもよいのですか？教科書にいきなり割ってたので疑問が残っています。 同次形の微分方程式ついて（その２)（「解析学序説(上)」 ） NO.1967222(2006年2月15日)で同次形の微分方程式ついて質問させていただきたものです。その節はたいへんありがとうございました。 その時、いろんな参考書を調べていてふっと思ったのですが、x.yに関して同次形の微分方程式についてはy=xuと置けという指示があるのですが、なぜそれでいいのかということについての理論的背景をすこしでも書いている本はほとんどありませんでした。(10冊以上の参考書を見てみましたが2冊だけでした。) これは不思議な気がしました。単にy=xuと置けば解けるというだけでは学習者に欲求不満が残るのではないでしょうか。それとも単に計算テクニックとしてそのように覚えればよいというほどの分野に過ぎないということなのかなとも思いますが。 この辺の事情について教えてくださるとありがたいです。 なお、念のために同次形の微分方程式について私が以前に出した質問を下に引用しようとしたのですが、質問が800字を超えてしまいますので、省略させていただき、NO.1967222(2006年2月15日)同次形の微分方程式ついて（「解析学序説(上)」 ） http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1967222 を参照ください。 よろしくお願いいたします。 同次形の微分方程式 おそらく同次形の一階の微分方程式の問題で xy' = y + √(x^2-y^2) というもんだいをといてみました（勝手に同次形で・・・ｗ） 最終的に arcsin(y/x) = log|x| + C (C;a.c) とまでいったので±e^(-C)=αとして x = α exp(arcsin(y/x)) にしたんですけども解答では y + √(y^2 + x^2) = βx^2 という形になっているのですが、どうしたらこんな形の一般解を 導くことができるのでしょうか。 アドバイスお願いします！ 1階非同次微分方程式の一般解について 1階非同次微分方程式の一般解の解釈について不明点がございます。 一般化した1階非同次微分方程式：y' + p(x)y = q(x)の一般解は y = e^(-∫p(x)dx) * ∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx + ce^(-∫p(x)dx) で表されるのは理解できるのですが、この一般解が非同次微分方程式の特殊解と同次微分方程式の一般解の和になっていることが理解できません。 つまり右辺の1項目、e^(-∫p(x)dx) * ∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx が非同次方程式の特殊解になる理由がわかりません。 個人的に考えるに右辺の2項目のcが-∞～∞まで全ての値をとることが可能なので c=0の場合に、右辺の1項目は非同次方程式の特殊解になる、と勝手に推測しているのですがその考えでよろしいでしょうか？ どなたかその辺詳しい方がいらっしゃいましたら是非ご教授お願い致します。 同次形常微分方程式の解き方についての質問です。 同次形常微分方程式の解き方についての質問です。 同次形常微分方程式の解き方で、関数をxで割るという操作が出てきます。 この操作に疑問を感じます。 「x=０」のときは考慮しなくていいのでしょうか？ ウェブ上で調べたところ、xは恒等的に０でないので、xで割るという操作は問題ないと説明されていました。 しかし、「xは恒等的に０でないから、xで割ってよい」となる理由がよく分かりません。 恒等的に０でなくても、xは変数なので「x＝０」となるときがあります。 そのときを考えなくてもいいのか、と思ってしまいます。 基本的な事なのか、その理由について探すことができませんでした。 教科書では、そもそもxで割るという事を当たり前のように行っています。 なので分からなくて困っています。 分かる方、誰か教えてください、お願いします。 非同次２階線形微分方程式についてです 非同次２階線形微分方程式の形と、一般解をどなたかお教えください。 またこのことを詳しく説明しているURLをご存知ならそちらも教えてくだされば幸いです。 微分方程式の同次形 微分方程式の同次形って (ｙ／ｘ)の形をつくって、そこから ｙ／ｘ＝u とおいて計算してくじゃないですか。 その後に、dy/dx=u+x(du/dx) となるのはなぜなのでしょうか？ dy/dx=uとなるなら納得するんですが、その後に加わっているx(du/dx)はどういった考え方をすれば出てくるのでしょうか？ dy/dx=u+x(du/dx)から考えてみても、y=uxにならないんですよね。 考え方を教えてください。 １階非同次線形微分方程式の解法について 難しすぎてよくわからないので質問します。 いろんなサイトを見てもよくわからなかったので分かりやすい回答おねがいします。 みなさんから見れば、なぜこんなことも分からないの、なにを言っているの？と思うのかもしれませんが、丁寧に解説してくれるとありがたいです。 非同次方程式の一般解＝同次方程式の一般解＋非同次方程式の特殊解となるようですが、 なぜこれが成り立つのかわかりません。 いろんなサイトみたのですが、数式がいっぱい書いてあってなにがなんだかわからない状態です。 まだ、変数分離の解法しかやっていないので、難しいことを言われても分からなくなってしまいます。 まず、１階線形微分方程式は、dy/dx+f(x)y=g(x)などのように表されるということは分かりました。 そしてこのg(x)を０としたものが非同次となるわけですよね。 つまり、dy/dx+f(x)=０です。 そしてこの解法として、まずy=u(x)が同次方程式の一般解としようと書いてあります。 ですが、もうこの時点でよくわからないです。 なぜ一般解としようと考えたのかってとこに疑問があります。 特殊解でもなく、なぜ一般解なのかということです。 そして、これを代入すると、du(x)/dx+f(x)u(x)=0となるのはわかります。 ただ代入するだけなので。 次に、y=v(x)を非同次方程式の特殊解としようと書いてあります。 でもなぜ非同次方程式の特殊解にするのかわかりません。 同次方程式の特殊解と考えてはだめなのかと思ってしまします。 まさか適当においたとも思えませんし。 なにかの考えがあってのことだと思いますし。 ようするに、なぜこのようにおいたのか、道筋というか目的ってのがよく見えないのです。 いったいなにをやっているのか。 たぶん一般解と特殊解の関係？みたいなのがわかっていないので、悩んでいるような気がします。 つまり、 非同次方程式の一般解＝同次方程式の一般解＋同次方程式の特殊解とおくことはできないのかと。 質問の意味あまりわからないかもしれませんが、すいません。 わからなすぎて、なにが分からないのかもわからない状態で。 丁寧に解説してくれるとありがたいです。 微分積分（同次形）について 以下の問題の考え方、過程を教えてください。 １．微分方程式 xy y' + X^2 + y^2 - xy = 0 は同次形か？ ２．微分方程式 x^2 y'=y^2 + x^2 y は同次形か？ １．２ともy'=の式に直して式変形しましたが １は1-(x/y)-(y/x) ２は(y/x)^2 + y となりましたがどちらもy' = f(y/x)の形になりません。 微分方程式 次の同次形の微分方程式はどのように解けばいいのか教えてください。 どうぞ宜しくお願いします。 x＊ｙ"+ｙ'=0 微分方程式について 2階線形同次微分方程式を解く場合、方程式が2実数解、重解、2虚数解のどれを持つかによって、一般解は異なります。 しかし、微分方程式をラプラス変換で解けば、一般解を求めるための公式は気にしなくともよいのでしょうか。 同次方程式 なぜ「同次」方程式というのでしょうか？定数項がないことと同次という言葉が結びつきません。英語では「Simultaneous Equation」だそうで、訳すならば「同時」方程式となりそうですが、こちらも意味が全くわかりません。どなたか教えてください。 二階同次微分方程式が存在しないことの証明 二階同次微分方程式 y''＋p(x)y'＋q(x)y＝0 に関して次の設問に答えなさい。 (1)y＝y1、y＝y2を解としてもつとき、ロンスキアンの定義を示しなさい。 (2)x^3と|x^3|を共に解としてもつ二階同次微分方程式は存在しないことを証明しなさい。 とある教科書の例題です。 （１）の方はロンスキアンの定義の説明だから対処できますが、 （２）の方は、絶対値が絡んでいることもあり、 私の現在の理解では、十分な証明をすることができません。 よろしければ、お答えいただきたいと存じます。 微分方程式について 微分方程式の問題について２つほど聞きたいことがあります。 (1)y''+y'-2y=10 (1)の問題は、y''+y'-2y=0と考えて解いていいんですよね？ 定数係数２階線形同次方程式と呼ばれるもので良いんですよね？ (2)S(x)=(x^4)/(2×4)+(x^6)/(2×4×6)+(x^8)/(2×4×6×8)+・・・とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) S(x)が満たす１階の微分方程式を求めよ。 (2) 上記の微分方程式を解いてS(x)を求めよ。 という問題です。このような形の微分方程式はあまり見慣れません。 どのように解いていけばよいのかよく分かりません。 色々とお聞きしてしまい、申し訳ないんですが、よろしくお願いしますm(_ _)m 同次形微分方程式について 同次形微分方程式がわかりません （１） (3x+2y-5)y'=2x-3y+1 と （２） (x+y+1)+(2x+2y-1)y'=0 の解き方なのですが、解どおりになりません。 座標軸の平行移動を行った後に、 同次系に直して積分すると (1)は logx+c==-1/2log(2v^2-6v+2) で解の y^2+3xy-x^2-x-5y と違う間違った解になってしまい (2)はx+y=u (1+y'=u')と置いて解いていくと (u+1)(2u-1)(u'-1)=0 u'=1 で解の 3log(x+y-2)+x+2y=c と違う間違った解になってしまいます。 どこが間違っているのかわかりません。 どなたかアドバイス御願いします ・追伸 この間の別の質問の件で回答してくださった方へ。 質問の仕方が悪かったので、削除対象になってしまいお礼ができませんでした。申し訳ありません。 回答は大変助けになり感謝しています 微分方程式 第1問 dy y~2-x~2 --=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい） dx 2xy 第2問 一階線形微分方程式 dy --+ycosx=sinx×cosx---(1)がある dx 1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい 2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。 また、その時の一般解を求めなさい
