δ（ｇ（ｘ））の定義および計算方法について

質問

• δ（ｇ（ｘ））の定義および計算方法について詳しく教えてください。
• Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｆ（ｘ）・δ（（ｘ－α）・（ｘ－β））の計算方法はどのようなものですか？それはＦ＝（ｆ（α）＋ｆ（β））/｜β－α｜ですか？
• Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｘ＾α・δ（ｘ＾β）の計算方法はどのようなものですか？求まるためにはどのような条件が必要ですか？置換積分は使用できますか？

回答No.1

stomachman

まず（３）
もしgが1:1対応、つまりg(x)の逆関数が存在するなら、xからgへの置換積分をすれば良い。そうは行かない場合に、δ関数を
δ(x) = if |x|<ε then 1/(2ε) else 0
と考えて、ε→0の極限を取って積分が収束するのなら問題なく扱えます。
Ｆ＝∫ f(x)δ(g(x))dx (x=-∞～∞)
= lim(ε→0) ∫ f(x)(if |g(x)|<ε then 1/(2ε) else 0)dx (x=-∞～∞)
　g(x)=0の解をα1, α2, ...., αnとして、gが解の近傍で微分可能で微係数≠0であれば、
x≒αk のとき、g(x) = g'(αk)(x-αk)
ですから、
x≒αk のとき、δ(g(x)) = δ(g'(αk)(x-αk))=(1/g'(αk))δ(x-αk)
と扱えます。ゆえに
F=Σf(αk)/g'(αk)　(k=1,2,...,n)
となる。
g(x)=0の解においてg'(x)=0になる時（いわゆる重解の時）には、f(x)がその解に於いて0でない限りは発散してしまいます。

（２）
f(x)=x^α（αは非整数）は、x<0のときにどうなるかはっきりしません。|x|^αだったら扱えます。
g(x)を変数変換したければ1:1対応になるようにさらにいじくっておかねばならず、|x|^βではなしに
g(x)=sgn(x)(|x|^β)
を考える必要がある。つまり
F = ∫(|x|^α)δ(sgn(x)(|x|^β)) dx
というのなら検討できそうです。

補足

欲張ったために話が発散してしまいました
どうも失礼しました
知りたかったのは

Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｘ＾ｍ・δ（１／ｘ）　（ｍ：整数）
Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・｜ｘ｜＾α・δ（ｘ＾２）　（α：実数）

が意味を持つｍ，αとそのときの値でした
εでやっても置換積分でやってもなにかもやもやが残るような気がします
もしよろしかったら明快な説明をお願いします