教えてください。

質問

中学３年生の「相似を使った図形の計量問題」で
つまづいて、すごく困っています。
周りに聞く人もいないので、誰か、教えてください。
よろしくお願いします。

(問題）
OA＝9ｃｍ、AB＝8ｃｍの正四角すいである。
辺OA、OB、OC、ODの中点をそれぞれ、P、Q、R、ｓとするとき
次の問いに答えよ。

（１）四角形PQRSの面積を求めよ。
（２）四角形ABCDを底面とする正四角すいO-ABCDの高さを求めよ。

（解答）
（１）四角形PQRSの面積は
四角形ABCDの面積の2分の1の2乗＝「4分の1」だから
8の2乗×4分の1＝16（平方センチメートル）

※ここで、わからなかったのは、どうして、2分の1とわかったので
しょうか？また、その2分の1を2乗し、さらに、8ｃｍまで2乗して
計算したのは、なぜでしょうか？

（２）頂点Oから底面の四角形ABCDに垂線OHをひくと
△OAHでOA=9ｃｍ、AH=4ルート2だから、三平方の定理により
OH=ルート49＝7（ｃｍ）

※AH=4ルート2というのは、どうやって求めるのでしょうか？
それさえ理解できれば、この問題はわかるのですが・・・。

たくさん、質問しちゃってごめんなさい。
試験まで、あと3週間になってしまい
少し、焦っています。
見にくい文章になってしまい、すみませんが
どうか、よろしくお願いします。

回答No.1

ACSmasa

（１）ですが、
P,Q,R,Sはそれぞれ中点ですよね。中点連結定理というのを知っていましたか？

例えば△ABCがあって、AB,ACの中点を結ぶ線分はBCの線分の２分の１かつ、BCと平行になるというものです。

したがって、四角形PQRSの各辺は四角形ABCDの各辺のそれぞれ半分になっていますよね。だから、

四角形ABCDの面積の2分の1の2乗＝「4分の1」

と固く考えなくても、各辺が半分になったのだから４×４＝１６と考える方が簡単かもしれませんね。相似形の場合、線分が半分になったら、面積はその２乗、つまり４分の１になります。

（２）ですが、
三平方の定理とは、
「直角を挟む２辺の長さの２乗の和はもう１辺の２乗に等しい」
というものです。
ます、Hから辺ABへ垂線をおろした交点をFとします。
△AFHに三平方の定理を当てはめると、

AH^2=AF^2+FH^2

となります。（^は乗の意味）
ここで、AF=4,FH=4を代入して計算すると。(FHが4になるのは分かりますよね）

AH=ルート（AF^2+FH^2）ですよね。
AH=ルート(4^2+4^2)　
=ルート（16+16)
=4ルート2
になります。

分かりましたでしょうか？？追加質問あれば遠慮なく/(^^)

お礼

（１）・・・中点連結定理を利用していけば
解ける問題ですね。気がつきませんでした（苦）
中学２年生の参考書で、中点連結定理を勉強したのに
まだまだ理解していなかったみたいです。
さっそく、もう１度、かるく復習をして
この問題を解いてみたいと思っています。

（２）・・・とてもわかりやすく書いてくださり
ありがたいです。
Hから垂線をおろせば、三平方の定理が使えますね。
これで、ようやく理解できました。

親切に教えてくださり
とてもうれしかったです。
図形が苦手で、試験日まで、図形に重点をおいて勉強していきますが
わからないところがあったら
こちらに質問するしか解決法がないので
その時は、またよろしくお願いします。
それでは、本当に助けていただいて
ありがとうございました（笑）