平面と点の距離

質問

空間上に点o(0,0,0),A(4,2,0),B(1,2,1),C(0,3,6)の4点がありOABが作る平面Cとの距離を求めなさい。

僕は外積を使って出すのもいいと思うのですが、
高校の範囲内での解き方（外せきを使わずに）
解けないものでしょうか。

答えは6√14/7になります

回答No.1

muroto_misaki · ベストアンサー

「OABが作る平面Cとの距離を求めなさい。」ではなくて
「OABが作る平面と点Cとの距離を求めなさい。」
ですか？
勝手にその様に解釈して解答を

△OABの平面の式をax+by+cz+d=0とおくと
(0,0,0)を通るので d=0　∴ax+by+cz=0
(4,2,0)を通るので　4a+2b=0 a=-(b/2)
(1,2,1)を通るので a+2b+c=0 c=-a-2b=-(3b/2)

よって△OABの式は -(b/2)x + by -(3b/2)z=0となる。
ここでb=0と仮定するとa=0、c=0となり平面OABが原点のみの集合となってしまうので矛盾、よってb≠0から

△OABの式を整理すると　x-2y+3z=0
これより△OABと点Cの距離は、距離の公式から

距離=　|0*3 + 3*(-2) + 6*3| / √(1+4+9)
= 12/√14
=6√14/7

これでどうでしょうか

お礼

x-2y+3z=0この式をベクトルでも出せますよね。
うっかりしてました。

完璧な答えだと思います。
距離の公式もずっと使ってないので忘れていました
本当に怖い物です。

回答No.2

debut

ＯＡＢが作る平面の式をａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０とすると
Ｏを通る→ｄ＝０
Ａを通る→４ａ＋２ｂ＝０
Ｂを通る→ａ＋２ｂ＋ｃ＝０
これらから、ｂ＝－２ａ、ｃ＝３ａで、ａｘ－２ａｙ＋３ａｚ＝０で
平面の式は　ｘ－２ｙ＋３ｚ＝０
この平面に垂直なベクトルは（１、－２，３）なので、Ｃから平面に
おろした垂線の足をＨ（ｅ，ｆ，ｇ）とすれば
ベクトルＨＣ＝（－ｅ、３－ｆ、６－ｇ）＝ｋ（１、－２，３）・・・☆
－ｅ＝ｋよりｅ＝－ｋ、３－ｆ＝－２ｋよりｆ＝２ｋ＋３、６－ｇ＝３ｋ
よりｇ＝－３ｋ＋６
これらを平面の式に代入すると　ｋ＝６/７
ベクトルＨＣの大きさ（Ｃと平面との距離）は☆より
　√{(6/7)^2(1+4+9)}

お礼

私も法線ベクトルから考えました。
未知数が多くなって不安になったのですが、
よくよく考えてみればそうやって出せるのですよね、
あきらめてはいけませんね・・・
助かりました。