平面の方程式

質問

原点Ｏ点と点Ｐ（2a+2b+4,4b+4,-a+3b+11)との距離の最小を求めよ。

という問題で、
ＯＰの長さを求めて、a,bの最小値を求める方法ではなく、
平面の方程式ax+by+cz+d=0（外積、法線ベクトル等）を利用して解け。
と授業で言われましたが、わかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#56760 · ベストアンサー

a=b=0として
P1(4,4,11)
a=0 b=1
P2(6,8,14)
a=1 b=0
P3(6,4,10)

べP1P2=(2,4,3)
べP1P3=(2,0,-1)
べP1P2⊥べｈかつべｈ⊥べP1P3
となるべｈ＝(1,-2,2)とおく　外積でも可
とある平面上のあらゆる点Q(ⅹ,ｙ,ｚ)とおくと
べｈ・べP1Q＝０より
(x-4,y-4,z-11)・(1,-2,2)=x-2y+2z-18=0
x-2y+2z-18=0に点Ｐの座標を代入すると常に成立するので、Ｐはこの平面上の点である。

原点からこの平面までの最短距離ｄは

ｄ＝|-18|/√{1^2+(-2)^2+2^2}=6

回答No.5

info22

外積は
（１）平行なベクトル同士の外積であれば外積はゼロベクトルになります。
（２）平行でないベクトル同士の外積であれば両ベクトルに直交するベクトルになります。
＞法線ベクトルを求める際に外積を使う
これは（２）に該当し、平面π上の平行でないベクトルのいずれとも直交すると言うことで法線の方向ベクトルが決まるということです。法線ベクトルと平面π上の平行でない方向ベクトルのいずれ共、内積=0でも出てきます。

（１）での外積は平面π上の点H(x0,y0,z0)と原点Oを結ぶベクトルOHと平面πの法線ベクトルが平行ということを外積＝０ベクトルとなることを利用し点Hの座標と最短距離｜OH｜を同時に求めるのに使います。
したがって平面と平面外の点との最短距離の公式は使いません。
（実は（１）を使って最短距離の公式を導びくことができるわけです。）

お礼

そういうことだったんですか!
外積は、私の持っている参考書などにはほとんど載っていなかったので、理解が深まり、本当に助かりました。
ありがとうございました。

回答No.4

info22

＞外積をどこで使えばいいのかが、わかりません。
なぜ外積を使わなかったか？については
＞0から平面πへの距離は│-18│/√1+4+4=6
と最短距離の公式を使ったからに他なりません。
そのため、最短距離の場合の平面π上の点Hを求めないままです。

平面πに原点から下ろした垂線の足の座標をH(x0,y0,z0)とすれば
べOHが、平面の法線ベクトルN(l,m,n)と平行になる条件から
べOH×べN=0
という条件を使います。
このときH(x0,y0,z0)と｜べOH｜＝最短距離が求まります。
｜｜は絶対値（ベクトルの始点から終点までの長さ）を表します。

補足

d-l_-b さんのアドバイスでは、法線ベクトルを求める際に外積を使うと書いてあり、私は、それで解決したのですが、info22サンのアドバイスではちがいますよね？
この問題では、外積を使えるのが２箇所あるということですか？

色々とすみません。

回答No.3

noname#56760

>>法線ベクトルを（l,m,n)と置き、
(l,m,n)・（2,0,1)=0と(l,m,n)・(2,4,3)=0を連立して
(l,m,n)=(1,-2,2)となるから、

（2,0,-1)と(2,4,3)の外積を出せば
（l,m,n）の一つが得られます。

お礼

ありがとうございます！！！
解決しました。

回答No.2

info22

丸投げは禁止です。
あなたの解答を補足に書いて質問して下さい。

点P(x,y,z)=（2a+2b+4,4b+4,-a+3b+11)
の各座標の式からa,bを消去してx,y,ｚの関係式を導出して下さい。
その式が点Pが存在する平面の方程式になります。
その平面の式から法線ベクトルが求められます。
まず、ここまでの解答を補足に書いて下さい。

また、授業の平面の方程式、平面外の点（原点）から平面へ下ろした垂線の足までの法線ベクトルの求め方など復習をして下さい。何も分からないでは説明も理解できないでしょう。

補足

d-l_-b さんと、info22さんのアドバイスを読み、答えは出ました。私の解答は以下の取りです。

ベＯＰ=（2a+2b+4,4b+4,-a+3b+11)
=a(2,0,1)+b(2,4,3)+(4,4,11)で、
法線ベクトルを（l,m,n)と置き、
(l,m,n)・（2,0,1)=0と(l,m,n)・(2,4,3)=0を連立して
(l,m,n)=(1,-2,2)となるから、
(x-4,y-4,z-11)・(1,-2,2)=x-2y+2z-18=0
0から平面πへの距離は│-18│/√1+4+4=6
です。

答えは出たのですが、外積をどこで使えばいいのかが、わかりません。
外積の練習問題として出されたので、外積を使った解法が知りたいです。