交換子全体

質問

他の方の質問に回答していて、ふと気になったので質問させていただきます。

群Gの交換子群は普通、交換子[a,b]:=aba^{-1}b^{-1}(a,b∈G)全体から生成されるGの部分群というように定義します。定義から明らかに正規部分群になることはわかりますから、別に何も問題ないんですが、“生成される”とつけるからには、理由があると思います。つまり、交換子全体が部分群にはならない例があると思うのですが、思いつきませんでした。ご存知の方、例を教えていただければ、と思います。

たとえば可換群なら交換子はすべて0となり、単位群になりますし、二面体群なんかだと、交換子全体が巡回群となるように思います。他に計算可能なよい例を思い浮かびませんでした。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

５次の対称群まで群表を作るなどして確かめましたが、具体例が見つかりませんでした。わたしにとって、手計算ではこれが限界です。Mathematicaなどの計算ソフトで群表をつくれれば良いのですが、あいにく、その技術を持ち合わせていません。聞くところによると、位数９６の群に具体例があるそうです。ともかく、難しい問題でした。勉強させていただきました。ありがとうございます。

お礼

どうもありがとうございます。有限群でやるとなかなかな難問なのですね。位数96の群ですか。同型類だけでもたくさんありそうですね。ちょっと手計算では厳しいかな、とも思いました。無限位数でもよいならば、たとえばa,b,c,dから生成される自由群で、aba^{-1}b^{-1}cdc^{-1}d^{-1}は交換子で書けるなら[a～,～d]でなくてはならないですが、それは不可能だとわかるので、積で閉じないのは容易だと思いましたが、生成元に関係式がある有限群で反例を見つけるのは無理なのかな、とも思っていました。

回答No.4

grothendieck

Gの交換群の任意の元が交換子のn個以下の積として表わされるような最小のnをc(G)とします。このときc(G)を既約指標から計算する式が
　A.A.Mehrvarz and K.Azizi, Turk. J. Math. 26 (2002),237
に与えられています。これはWebからもdownloadできます。私はc(G)>1 となる実例を見いだしてはいませんが、c(G)>1となる条件がこの論文にあるので回答させて頂きました。任意のnについてc(G)=n となるGが存在するのかはこの論文でQuestionとされていますので、多分未解決なのでしょう。

お礼

お礼を書くのをすっかり忘れていました。大変申し訳ありません。また回答ありがとうございます。

回答No.2

ojisan7

すみません。非可換な群Ｇの例として、置換群などを掲げましたが、よい具体例が見つかりませんでした。しかし、交換子の集合V＝{[h,k];h,k∈G}が群になることは一般的に証明できませんので、具体例は必ず存在すると思います。しばらく、考えさせて下さい。

回答No.1

ojisan7

V＝{[h,k];h,k∈G}としたとき、VがGの部分群にならない例を示せばよいわけです。Gの単位元、[h,k]の逆元はVに属しますが、一般的に、積[h,k]*[p,q]はVに属しません。これは、非可換な群Ｇの例を実際につくれば明らかです。置換群でもよいし、２行２列の行列（素数を法とした、有限位数）の群でもよいでしょう。