原付 エンジンがすぐ止まる ・・・・。

質問

DIO ZX AF28 を譲り受け素人ながら修理し乗っています。

最初はキャブ分解清掃とプラグ交換ですぐエンジンがかかるようになり、１ヶ月程度乗っていましたが先日コンビニまで行って帰ろうとエンジンをかけたら５分くらいで止まってしまいました・・・。

それ以降エンジンはかかるものの１分くらいですぐ止まってしまうようになりました。
マフラー詰まりではないし（以前ちゃんと吹けていたし、マフラーを外しても同じ症状のため）エンジンはかかるのだからプラグではないし・・。

確認してませんが燃料フィルターが詰まっているのでしょうか？でもエンジンはかかるし、キャブのドレンで一度ガソリンを抜いても再度エンジンがかかるので少なくとも完全に詰まっているわけではありません。

あと考えられるのはCDIやオートチョークの故障ですがこのような症状が出るのでしょうか？
バッテリーは寿命がきてつけていませんが関係ありますか？

ややこしい質問ですいませんが困っています。。どなたかご教授いただけるとありがたいです。