熱拡散の数値計算またはモデル

質問

ある大きさの物質があったとして、
マスキングにより極めて微小な領域のみ周期的に露出しているとします。その微小な領域にのみ熱が加わったとき、マスキングされた周囲の部分への熱の拡散を考えるにはどのようなモデルを使って解析すればいいのでしょうか？
マスキングされた部分と露出している部分の繰り返す周期は一定として考えます。

簡単にするため１次元のものでも構いません。
熱伝導に関する本を読んでも、どの式を使っていいのかさっぱりわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

＃２です。
補足を拝見しましたが、まだ条件が不足してますけど・・・・・

例えば、こんな感じなんでしょうね、おそらく。
・赤外線か何かでマスク以外のところを照射して加熱
　だから、マスク以外のところは全く加熱されない
・簡単のために照射されている箇所の温度を一定と置く
・図から不明ですが、マスクがストライプならば２次元解析でよく、マスクのアナが正方形とかなら３次元になると思います。
・相変わらず、冷却側の境界条件が明確でないですが、たぶん、照射部以外の材料表面は、室温とかなんでしょう。
・上記前提のもとに方程式を解くことになりますが、３次元ですと、まず、解析的に解くのは困難。ですからシミュレーションツールとかでやるのが普通です。

・・・ということになりますが、手っ取り早く近似的に答えがほしいとなると、下記のような感じになります。

＜浅いところ＞
照射面（深さゼロ）の付近、すなわち、ごく浅い領域　＝マスクのストライプ幅（若しくは、正方形の一辺の長さ）に比べて小さい領域　については、マスク窓から横方向への熱伝導だけ計算する
すなわち、照射面の上から見たときの伝道の様子を考える。
加熱の種類によりますが、加熱部の温度一定ならば、ストライプならば一次元、正方形ならば２次元で良さそうな気がします。

＜深いところ＞
深いところからは、マスク窓の場所と、マスクされている場所とが同じ距離に見えるので、
深いところについては、窓部とマスク部との加重平均の熱が届くというモデルでよい。
窓面積：マスク面積＝ａ：ｂ　であるならば、加熱全体のうち、割合ａ／（ａ＋ｂ）だけの熱（温度）が、１次元的に深いところへ伝わってくる。

あとは、浅いところと深いところとの中間の領域を、適当に滑らかな曲線でつないでやればいいと思います。一次関数でつないでもよいかも。

補足

申し訳ありません。
どういう条件が必要で、何が足りないのかもよくわかっていない状態でして・・・。

おっしゃるとおり、照射部のみ加熱されて他は室温として考えています。
また、開口部は正方形です。

回答No.2

sanori

まず、「熱拡散」という言葉ですが、誤解を招くので「熱伝導」という言葉を使ってください。
（「熱拡散」という言葉は、例えば、シリコン基板表面にＮ型やＰ型の不純物を打ち込んで、その後、高温の炉に入れることによって、不純物を拡散させることなどを指す言葉です。）

検索エンジンで「熱伝導方程式」で検索すれば、大学のサイトなどが大量に引っかかります。

一次元で構わないのであれば、下記２つのリンクみたいなのを見れば十分だと思います。

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node79.html

http://www.gaia.h.kyoto-u.ac.jp/~sakai/gfd/gfd_05.html

なお、おわかりかもしれませんが、ご質問文には境界条件が足りません。
高熱を加える側の温度を一定とする境界条件を与えられているとした場合、少なくとも、もう一方の境界条件、すなわち、冷却している側の境界条件（温度等）が与えられていなければ、平衡状態（無限時間後）における温度は、物体の全体にわたって均一になってしまいます。

補足

皆さん、早速の回答ありがとうございます。

私の説明不足で申し訳ありません。
本を読んだら、確かに「境界条件」ということばは出ておりました。ただし、よくわかりません。

私が必要とするイメージを以下に図示します。
矢印を熱として●はマスキング、○は加熱される材料です。●が開いた部分から熱が加わり（ある一定時間）その後、その熱がどのように材料中で伝導していくのかが知りたいのです。具体的にはある温度を加えたのちのある一定時間における材料中の温度分布が知りたいです。
ある程度近似した大雑把な感じで十分なのですが。
材料中の温度分布にどれくらい傾きがあるのかが一番のポイントになります。

　　　↓↓↓　　　↓↓↓
●●●　　　●●●　　　●●●
○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○

回答No.1

kochory

普通にラプラス方程式を使えばいいんでは？
http://www.geocities.jp/team_zero_three/LaplaceEq/
こちらでも参考にしてがんばってください