ゲージ場の量子化

質問

ラグランジアン密度

L［dence］=-1/4F(a)(μν)F(a)(μν)+L［matter)］
（括弧の中身はそれぞれ群の添え字と時空の添え字です）

で記述されるゲージ場を量子化していくときに
ゲージ場に共役な運動量π(a)に対して

π(a)(0)=0

と言う拘束条件が付いて、これが時間発展に矛盾しないためには

{π(a)(0),H}=D(i)π(a)(i)-ρ(a)=0（空間添え字にはiとかjとかを使います。）
D(i)π(a)(i)=∂(i)π(a)(i)-gf(abc)A(b)(i)π(c)(i)

とならなければいけないと言うところまでは分かりました。

しかし次に、上の2m（mはゲージ群の次元です）個の拘束だけで全ての拘束が尽きていることを示すのに

{D(i)π(a)(i)-ρ(a),H}=-gf(abc)(D(i)π(b)(i)-ρ(b))A(a)(0)

を示す必要があるのですが示す方法がよく分かりません。ポアッソン括弧の定義に従って力業で出すしかないのでしょうか？

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

レベルの高い質問ですね。私もよく分かりません。
　九後汰一郎：ゲージ場の量子論 I , p.160
によると「ゲージ不変性のため dπ(a)/dt とハミルトニアンとのPoisson括弧は恒等的に0になっていて、これ以上の拘束条件は現れない」とされています。ゲージ不変性があるとなぜハミルトニアンとのPoisson括弧が０になるのでしょうか。Euler-Lagrange方程式より
　 dπ(a)(i)/dt = ∂L/∂[A(a)(i)]
この右辺の∂L/∂[A(a)(i)] はゲージ変換のgeneratorのようなものになっていて系がゲージ不変である時ハミルトニアンとのPoisson括弧が０になると考えられます。よって
　{dπ(a)(i)/dt , H } = { ∂L/∂[A(a)(i)], H } = 0
ということではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました。
計算ができなかったのは物質場のラグランジアンを一般においたまま計算をしようとしたためでした。
実際にDirac場などの具体的な場合で計算をすれば上の結果が確かに検証できました。

補足

∂L/∂[A(a)(i)] がゲージ変換の母関数になっているのはどういう理由で分かるのでしょうか？
私の理解した範囲での九後さんの論理では

ハミルトニアンとのポアッソン括弧がゼロ
→第１類の拘束
→ゲージ変換の母関数

と言う流れになっているように思えます。

ゲージ変換の母関数かどうかの検証も結局はポアッソン括弧の計算が必要な様に思えるのですが、何か物理的な考察からこれがゲージ変換の母関数であることが示せるのでしょうか。