不定積分で

質問

(logx)^2と(cosx)^2の不定積分が分かりません。
部分積分法でやればできるのでしょうか？
cosｘの場合３乗なら解けたのですが、２乗は解りませんでした。
どなたかやり方だけでもいいので教えてください。
お願いします。

回答No.1

aqfe · ベストアンサー

＞(logx)^2
t = log(x)とおくと、dt = (1/x)dx
dx = e^t dt

なので
∫ t^2 e^t dt
となって、あとは(e^t)' = e^tを利用して２度ほど部分積分です。

＞(cosx)^2
半倍角の公式
( cos(x/2) )^2 = ( 1+cos(x) ) / 2
xの代わりに2xとおくと、
( cos(x) )^2 = ( 1+cos(2x) ) / 2

なので、
∫ [ ( 1+cos(2x) ) / 2 ] dx
こちらは部分積分は必要ないです。

お礼

どうもありがとうございました。
おかげで問題を解くことができました。

補足

cosのほうは解ったのですが
logのほうで
>dx = e^t dt
となるのがわかりません。
すみませんが説明していただけないでしょうか。

回答No.2

virtualnanolab

t = log(x)と変数変換しているので、
自動的にt = log(x)⇔x = e^tが成立するのでは？
dt/dx = (1/x)⇔dx = x dtとして、x = e^tを考える。
よって、dx = x dt⇔dx = e^t dtとして、積分定数tについての不定積分になるので、部分積分を2回繰り返せばOKです。

お礼

よく考えればわかるようなものだったのに
全然その考えが出てきませんでした。
どうもありがとうございました。