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慣性行列(テンソル)について

長さh、半径r、密度p、の円柱の質量中心まわりの慣性テンソルを求めよ。ただし、長手方向をz軸とする. という問題なので、図を描いてやっているのですが、どこから手をつけていいのかも分からない状態です。図を描いてやっているのです。

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  • KENZOU
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回答No.1

ヒントを。。。 力学のテキストをよくご覧になられると慣性テンソルは I11=∫(y^2+z^2)dm,I12=-∫xydm,I13=-∫zxdm I21=-∫xydm,I22=∫(z^2+x^2)dm,I23=-∫yzdm I31=-∫zxdm,I32=-∫yzdm,I33=∫(x^2+y^2)dm (ただしdm=ρdxdydz)と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸(慣性主軸)をうまく選んでやると非対角成分を0にすることができ(←主軸変換),この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。 A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm,B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm,C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm ここでA,B,Cは主慣性モーメントと呼ばれます。 具体的なケースを見ましょう。 ○板状の物体の場合:板面に直角にz軸をとり,板面内(z=0)に直角にx,y軸をとると,このx,y,z軸は慣性主軸となります。慣性モーメントは Ix=∫y^2dm,Iy=∫x^2dm,Iz=∫(x^2+y^2)dm=Ix+Iy ○回転対称軸を持つ場合:回転対称軸をz軸にとり,それに直角にx,y軸をとるとx,y,z軸は慣性主軸となり,この場合Ix=Iy=∫(y^2+z^2)dm=∫(x^2+y^2)dmとなります。 ご質問のケースは回転対称軸をもつ場合にあたります。慣性モーメントを求める具体的な計算は力学のテキストを参照されるか,参考URLの力学のページを参照されればよいでしょう。

参考URL:
http://www14.plala.or.jp/phys/

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