慣性行列(テンソル)について

質問

長さh、半径r、密度p、の円柱の質量中心まわりの慣性テンソルを求めよ。ただし、長手方向をz軸とする.

という問題なので、図を描いてやっているのですが、どこから手をつけていいのかも分からない状態です。図を描いてやっているのです。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

ヒントを。。。
力学のテキストをよくご覧になられると慣性テンソルは
I11=∫(y^2+z^2)dm，I12=-∫xydm，I13=-∫zxdm
I21=-∫xydm，I22=∫(z^2+x^2)dm，I23=-∫yzdm
I31=-∫zxdm，I32=-∫yzdm，I33=∫(x^2+y^2)dm
（ただしdm=ρdxdydz）と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸（慣性主軸）をうまく選んでやると非対角成分を０にすることができ（←主軸変換），この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。
A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm，B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm，C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm
ここでA，B，Cは主慣性モーメントと呼ばれます。
具体的なケースを見ましょう。
○板状の物体の場合：板面に直角にｚ軸をとり，板面内(z=0)に直角にx,y軸をとると，このx,y,z軸は慣性主軸となります。慣性モーメントは
Ix=∫y^2dm，Iy=∫x^2dm，Iz=∫(x^2+y^2)dm＝Ix+Iy
○回転対称軸を持つ場合：回転対称軸をz軸にとり，それに直角にx,y軸をとるとx,y,z軸は慣性主軸となり，この場合Ix=Iy=∫(y^2+z^2)dm=∫(x^2+y^2)dmとなります。
ご質問のケースは回転対称軸をもつ場合にあたります。慣性モーメントを求める具体的な計算は力学のテキストを参照されるか，参考URLの力学のページを参照されればよいでしょう。

参考URL：

http://www14.plala.or.jp/phys/