半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方

質問

タイトル通り、
「半径1の円に内接する正五角形の一辺の求め方」を教えてください。
正十角形の一辺の求め方がヒントのようです。
よろしくお願いします。

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

tokumei7さんは中学生ですよね？（高校生ならこの問題の解法で正十角形の一辺の求め方を考えようとしませんから）

さて、正十角形の一辺はわかりましたか？これは実はかなり綺麗に求めることができます。（こっちのほうがよっぽどいい問題）

ということで解法を。その前に、正五角形の一辺と対角線の長さの関係が1:(1+√5)/2であることは大丈夫ですか？（相似で出せます）

五角形をABCDEとし、その一辺を2aとする。（あとで辺の中点を考えますので2aとおいてます）
円の中心をOとし、ACとOBの交点をM, AOを延長し、CDおよび円周との交点をそれぞれN, A'とする。（CA'が正十角形の一辺です）

AB=2aよりAC=2a*(1+ √5)/2=(1+ √5)a, AM=AC/2=((1+ √5)/2)a
△ABM∽△OCNとOC=1よりON=(1+ √5)/4、よってNA'=1-ON=(3-√5)/4
△OAM∽△A'CNとCN=CD/2=aより、CA'=2/(1+ √5)=(√5-1)/2（この有理化は高校範囲ですが、この問題を解く中学生なら知ってて当然。）
これが正十角形の一辺となります。

ところで、正五角形の一辺だと、あとの相似はいらなくて、あとは△OCNで三平方の定理を用いればaの値は求められますから、それで終わりです。。。
ここで、この答えは、いわゆる２重根号がはずれません。これについてはどうしようもなさそうです。

＃もし三角関数がおわかりなら、答えは2sin36度で、cos36度については２倍角と３倍角の公式を使えば、(1+ √5)/4になります。本質的に上の解答と同じものを求めていることになりますが・・・

＃＃もし対角線の出し方を知らない場合は、ACとBEの交点をPとして、△PAB ∽△BACかつCP=CBより求められます。

お礼

kony0さん、ありがとうございました。
とても丁寧な解説のおかげで、
問題を解くことができました。
本当にありがとうございました。

他のアドバイスをくださった方々も本当にありがとうございました。