足すと９になる三桁の数が９で割れるのはなぜ？

質問

足すと９になる三桁の数が９で割れるのはなぜでしょうか。じつはあまり深く考えずに使っていたのですが、小学生のいとこに尋ねられたときに答えられなかったのです。いろいろ証明しようと思えば出来るのでしょうが、小学生の頭にもになじむ説明の仕方が見つかりません。いとこは小学四年生です。どうぞ宜しくお願いします。

回答No.2

nozomi500

３桁の数にかぎらず、９の倍数は各桁の数字を加えると9の倍数になります。
したがって、「足すと9になる」というより「足すと９の倍数になる」が正しい。
（たとえば、「999」や「909」など）

「水道方式」でよくつかう道具（「タイル」とよばれる）で考えると、３桁の数というのは、「100」のタイル、「10」のタイル、「1」のタイルがそれぞれ数枚で構成されるわけですが、（たとえば「743」は「１００」が７、「１０」が4、「1」が３つ）
なければ、お手製で、100＝10×10、10＝10×1、1＝１×１の正方形、長方形を方眼紙で何枚か作ってみましょう。お皿を９枚用意して。

「100」を９つに分けようと思えば、ハサミで「10」を１０作るのですが、そのうち9つは分けられます。あまった「10」は「1」を10こに切り分けられます。このうち、9つは分けられます。最後に「1」が１つあまります。
「10」も「100」も（ついでに「1000」も「10000」も・・）、９で割れば「1」あまります。
「３００」であれば「3」、「７００」であれば「7」、「４０」であれば「4」、それぞれ、各位の数字があまりになります。（「9」あるいは「０」であれば割り切れます。）
最終的に割り切れる条件というのは、「あまりを集めて9（９の倍数）になればいい」ということになります。したがって、各位の数字がそのままあまっているわけだから、各位の数字を足せば、９で割り切れるかどうかわかります。

ついでに、
それぞれの数字について、倍数みつけ方があるのですが、「7」の倍数だけは、「見つけ方」をやるより実際に７で割った方が手っ取り早いので、「7」は神秘的な数字といわれていました。