１から９の数字を五乗してできる数字の一桁目が１から９になるのはなぜ？

質問

暇つぶしに何気なく掛け算をしていたら発見しました
具体的には以下のようになります
（元の数字→二乗したもの→三乗したもの…の一桁目のみ表示）
１→１→１→１→１
２→４→８→６→２
３→９→７→１→３
４→６→４→６→４
５→５→５→５→５
６→６→６→６→６
７→９→３→１→７
８→４→２→６→８
９→１→９→１→９
単なる偶然なのかもしれませんが、何か意味のある現象だったらご教授お願いします。

回答No.3

quads · ベストアンサー

既に回答されていますが、とりあえず回答しておきます…；

■任意の整数 n に対し、n^5 - n が10を因数に持つことの証明。

(n^5)-n
= n{(n^4)-1}
= n{(n^2)-1}{(n^2)+1}
= n(n-1)(n+1){(n^2)+1}

よって、(n^5)-n は
　n-1
　n
　n+1
　(n^2)+1
を因数に持つ。
また、n-1 , n , n+1 は３つの連続する整数なので、その積は偶数となる。
k を整数とすると、任意の整数 n は以下のいずれかで表すことができる。
　0+5k　(nを5で割った余りが0となる場合)
　1+5k　(nを5で割った余りが1となる場合)
　2+5k　(nを5で割った余りが2となる場合)
　3+5k　(nを5で割った余りが3となる場合)
　4+5k　(nを5で割った余りが4となる場合)

次のうちのいずれかが5の倍数であればよい。
　n-1
　n
　n+1
　(n^2)+1

ここで、nを5で割った余りが、0,1,4となる場合はそれぞれ、n , n-1 , n+1 が5の倍数となる。

よって、nを5で割った余りが、2,3となる場合のnについて、
(n^2)+1 が 5の倍数であることを示せばよい。

▼nを5で割った余りが 2 のとき
n = 2+5k
(n^2)+1
= { (2+5k)^2 }+1
= { 4+20k+25k^2 }+1
= 5+20k+25k^2
= 5(1+4k+5k^2)
より、nを5で割った余りが2のとき、(n^2)+1 は5の倍数となる。

▼nを5で割った余りが 3 のとき
同様に、
(n^2)+1
= { (3+5k)^2 }+1
= { 9+30k+25k^2 }+1
= 10+30k+25k^2
= 5(2+6k+5k^2)
より、nを5で割った余りが3のとき、(n^2)+1 は5の倍数となる。

全ての整数 n において、(n^5)-n の因数、
　n-1
　n
　n+1
　(n^2)+1
に、2の倍数及び5の倍数が含まれることが示されたので、
(n^5)-n が10の倍数であることが示された。■

※これは、任意の整数 n において、n^5の1桁目がnと一致することを示す。

お礼

ご返答ありがとうございます

>これは、任意の整数 n において、n^5の1桁目がnと一致することを示す。
この文章が気になったのですが、二桁の整数では無理なのではないでしょうか？