１から９の数字を五乗してできる数字の一桁目が１から９になるのはなぜ？

質問

暇つぶしに何気なく掛け算をしていたら発見しました
具体的には以下のようになります
（元の数字→二乗したもの→三乗したもの…の一桁目のみ表示）
１→１→１→１→１
２→４→８→６→２
３→９→７→１→３
４→６→４→６→４
５→５→５→５→５
６→６→６→６→６
７→９→３→１→７
８→４→２→６→８
９→１→９→１→９
単なる偶然なのかもしれませんが、何か意味のある現象だったらご教授お願いします。

回答No.3

quads · ベストアンサー

既に回答されていますが、とりあえず回答しておきます…；

■任意の整数 n に対し、n^5 - n が10を因数に持つことの証明。

(n^5)-n
= n{(n^4)-1}
= n{(n^2)-1}{(n^2)+1}
= n(n-1)(n+1){(n^2)+1}

よって、(n^5)-n は
　n-1
　n
　n+1
　(n^2)+1
を因数に持つ。
また、n-1 , n , n+1 は３つの連続する整数なので、その積は偶数となる。
k を整数とすると、任意の整数 n は以下のいずれかで表すことができる。
　0+5k　(nを5で割った余りが0となる場合)
　1+5k　(nを5で割った余りが1となる場合)
　2+5k　(nを5で割った余りが2となる場合)
　3+5k　(nを5で割った余りが3となる場合)
　4+5k　(nを5で割った余りが4となる場合)

次のうちのいずれかが5の倍数であればよい。
　n-1
　n
　n+1
　(n^2)+1

ここで、nを5で割った余りが、0,1,4となる場合はそれぞれ、n , n-1 , n+1 が5の倍数となる。

よって、nを5で割った余りが、2,3となる場合のnについて、
(n^2)+1 が 5の倍数であることを示せばよい。

▼nを5で割った余りが 2 のとき
n = 2+5k
(n^2)+1
= { (2+5k)^2 }+1
= { 4+20k+25k^2 }+1
= 5+20k+25k^2
= 5(1+4k+5k^2)
より、nを5で割った余りが2のとき、(n^2)+1 は5の倍数となる。

▼nを5で割った余りが 3 のとき
同様に、
(n^2)+1
= { (3+5k)^2 }+1
= { 9+30k+25k^2 }+1
= 10+30k+25k^2
= 5(2+6k+5k^2)
より、nを5で割った余りが3のとき、(n^2)+1 は5の倍数となる。

全ての整数 n において、(n^5)-n の因数、
　n-1
　n
　n+1
　(n^2)+1
に、2の倍数及び5の倍数が含まれることが示されたので、
(n^5)-n が10の倍数であることが示された。■

※これは、任意の整数 n において、n^5の1桁目がnと一致することを示す。

お礼

ご返答ありがとうございます

>これは、任意の整数 n において、n^5の1桁目がnと一致することを示す。
この文章が気になったのですが、二桁の整数では無理なのではないでしょうか？

回答No.4

quads

ごめんなさい。
#3の最後の文章が不適切でした。

> ※これは、任意の整数 n において、n^5の1桁目がnと一致することを示す。

正しくは、
『これは、任意の整数 n において、n^5の1桁目がnの1桁目と一致することを示す。』
ですね。

>>#2お礼
> 例えば二桁の整数でもＸ乗目にすべての数字の下二桁が最初の数字に一致することがありえるのでしょうかねぇ…。
仰られているように、10では自然数X乗で成立しないことが明らかなので一般的には、2桁の整数についてそのようなXは存在しないですね。
このような問題について深く考えていないので誤ったことを言っているかもしれませんが…；

ただ、何らかの法則が存在する可能性はあるかもしれません。
ちょっと調べてみますね。何か分かったら再び回答したいと思います。
（何も見つからなかったら回答しないかもですが…；）

お礼

度重なるご返答ありがとうございました。
二桁の整数うんぬんの話ですが、以前暗号の作り方関連でなにかそのようなものがあったような気がしたのですが…、とにかく何かが一致することしか思い出せません。
心当たりがある方はご一報をば。

回答No.2

pyon1956

横から失礼します。
フェルマーの小定理をご存じない場合。
#1さんの論拠からn^5-nは2の倍数なので、
n,n-1,n+1のいずれもが5の倍数で無いとします。するとnは5で割った余りが2または3ですから、n=5m±2（mは整数）と表現できます。このとき
n^2+1=5(5m^2±4m+1)となるので、n^2+1は5の倍数です。
ゆえに5と2の公倍数になるから、10の倍数です。

お礼

ご返答ありがとうございました
私の行った計算は一桁の整数のみでしたが、例えば二桁の整数でもＸ乗目にすべての数字の下二桁が最初の数字に一致することがありえるのでしょうかねぇ…。
（１０は何乗しても下二桁が００なのでそれ以外でですね）

回答No.1

nabla

面白そうなのでちょっと考えてみました。

５乗して１のくらいが元と同じになるということは
ｎ＾５－ｎ
が１０の倍数という意味ですよね。

ｎ＾５－ｎ＝ｎ（ｎ＾４－）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ－１）（ｎ＾２＋１）
です。
ｎ（ｎ＋１）の部分は絶対に偶数なのでｎ＾５－ｎも偶数です。

次にフェルマーの小定理
「ｐを素数とするとｎ＾ｐ－ｐはｐの倍数」
を使います。
５は素数なのでｎ＾５－ｎは５の倍数です。

以上からｎ＾５－ｎは１０の倍数だと分かります。

お礼

高校以来数学をやっていない自分にも理解できるご返答、ありがとう御座いました。
フェルマーの小定理がなぜそうなるかは理解できませんが、数学を知らない人間でも知ってるあのフェルマーなのでミーハーな私は充分に説得されました。