信頼区間が求められない。

質問

信頼区間についての計算をしているのですが、
なぜか区間が求められません。

例えば、
ここに当選確率がp%のくじがあるとします。
そのくじを100回引いたところ、25個の当たりがでました。
このときpの99%信頼区間を求めよ。』というような問題です。
（自分で作ったので、この問題がこれらのデータで成立するのかわかりませんが）

このとき、100回の試行による当たりの割合は計算で出ます。
仮に、当たりの割合をp^とすると、このときのp^=0.25です。
また、n回くじを引いたらs回当たりがでるとすると、sは確率変数で、
これは、これは二項分布に従う。nを増やせばこれは正規分布に従うから、

Z=s-np/√np(1-p)
=s/n -p／√p(1-p)/n
=p^-p/√p(1-p)/n

で、これから正規分布のグラフを書いて、
pの区間を求めれば99%信頼区間なるものが出てくるはずなんですが、
pの範囲を求めたい（○≦p≦●の形にしたい）のに、分母を省いても、（）内の○、●が数字のみにならず両辺にpが残ってしまいます。。

初心者なので、この最初の問題自体が間違っているのか、ここまでの考え方の過程に問題があるのか、はたまた計算間違いなのか・・・解決方法がわからずに悩んでいます。少しでもよいので知恵を貸してください、よろしくお願いします。

回答No.3

solla · ベストアンサー

p^ は p の推定量になります。つまり未知の母比率 p をデータから推定するときの“もっともらしい”値である、ということです。少々専門的な言い方をすれば一様最小分散不偏推定量（UMVUE, Uniformly Minimun Variance Unbiased Estimator）であり、かつ最尤推定量（MLE, Maximum Likelifood Estimator）であります。

ご質問の式の分母にある np(1-p) は s の母分散という意味ですが、母分散は未知ですから、その推定量を使う必要があります。そのため p を その推定量 p^ で置き換えて、n・p^・(1-p^) を分散の推定量として使うということです。
このようにして得られた分散の推定量は不偏推定量ではないのですが、最尤推定量ではありますので n が大きい場合にはほぼ不偏になります。そもそも s や p^ の分布が n が大きい場合に正規分布に近似できるということを利用した信頼区間の求め方ですので、そのような置き換えで充分なわけです。

お礼

回答ありがとうございます！

最尤推定量、という言葉は聞いたことがあります。
が、まだ勉強中の身なので、やはり完全には理解できてないみたいです^^;
それは、また自分でよく調べて、理解したいと思います。

助かりました、ここで回答を締め切らせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.2

solla

分母の p を p^ にしてください。
np(1-p) に p^ を代入して分散の推定値とします。
それなら直ぐに解けますね。

あと、数式は正確に書いたほうがいいです。例えば、

s-np/√np(1-p)

は、このままだと

s - ( np / (sqrt(n)・p(1-p)) )

という意味になってしまいます。正確に、

(s-np)/√(np(1-p))

のように書きましょう。

お礼

回答ありがとうございます。

数式については了解しました。
私も書いていて不安だったので、そういうご指摘はありがたいです。

それで、「pをp^にする」という操作を行って計算してみたところ、
ちゃんとpの区間を求めることができました。

ですが、どうして「pをp^」に変換していいのかがわからないです^^;
pとp^はそれぞれ「当たる確率」と「当たる割合」で別物だから、
「p=p^」とみなしちゃいけないような気がするのですが・・・。
もしよろしければ、教えてください^^;

回答No.1

graduate_student

ごめんなさい．
ちょっと状況がつかみにくいです．

○≦p≦●の形にしたいのですよね？
で，○、●が数字のみにならず両辺にpが残っているのですよね？
つまり，
[pが入っている式]≦p≦[pが入っている式]
ということですか？
もしそうなら，左辺と中辺，中辺と右辺よりそれぞれ
≦pかp≦になるように整理をすればいいだけではないのでしょうか？
的外れならごめんなさい．

お礼

回答ありがとうございます。

>[pが入っている式]≦p≦[pが入っている式]

そうです、その状況になってしまっています。
結局、pの区間を求めるのが目的なので、
"≦p""p≦"の形にはなっちゃいけないみたいなんです^^;
どうやらこのままだと計算できない感じがします・・・。