ラジアンの定義

質問

ラジアンの意味が何度本を読んでもいまいちわかりません。

どういう意味なのでしょうか？

パイ＝180度ですが、その意味はどういうことなのでししょうか？
３．１４がどうなのでしょうか？

回答No.12

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> 2×３．１４×ｒ＝３６０になるということですか？

まず，r(円の半径？)は関係ありません．
半径を２倍すれば弧の長さも２倍になるからです．
それから，
2×3.14 [ラジアン] ＝360 [度]
です．
つまり角度を測る単位が違うのです．
長さを測るのに，km 単位やマイル単位があるようなものです．
1 [マイル] = 1.6 [km]
ですが，だからと言って
1 = 1.6
と言うわけではありませんね．

ラジアンと度が単位の違いということを良く認識されていないように
お見受けしました．

お礼

ありがとうございます。

回答No.11

kapiyoko

私もここでつまづいた覚えがあります。
これが分かって数学に興味を持つようになりました。
単位円という考え方を理解すればいいのです。

半径が１の円を単位円といいます。

その円周は２π
でその中心角は３６０度
これを基本に考えてください。

πは中心角１８０度分の弧の長さとなりますよね。

単位円の弧の長さで角度を表す表し方がラジアンです。
どうでしょうか。

お礼

ありがとうございます。

回答No.10

mech32

ご質問の趣旨とはややずれるかもしれませんが、意味を考える前に、とにかく使ってみることをお勧めします。使っているうちに、非常に便利な定義になっているという実感がわくのではないかと思います。逆に、1周360°という定義の方が不便な場合は結構多いです。

意味は、すでに多くの回答者の方々が仰っているように、単なる単位換算なので、「ポンド→キログラム」とか、「フィート→メートル」を換算するのと同様、度量衡表を見て数値をあてはめる操作と変わりません。

例として、表計算ソフトでsin関数を使う場面があって、A1セルに「235°」のように度数が入力されているとしたら、出力セルに

=sin(A1*3.14159265358979/180)

と入力して換算すれば普通に作動します。

お礼

ありがとうございます。

回答No.9

i536

微分・積分でラジアンの導入は必須になってきます。
逆にいうと、これらを学ばない人にはラジアンは無用の長物です。

三角関数の微分・積分・級数展開を簡潔に表現するには、
この考えが必要だということを事前に説明してから、ラジアンの学習すればいいのですが、
残念ながら現状は肝心の目的を伏せたまま学習が進められます。
ですから、微分積分を学ぶときに障害とならないように、ラジアンを先に学びます。
この一見親切配慮が逆によくないんです、
学習目的を完全に隠していますから初めて学ぶ人間をもやもやとした状態にさせてしまいます。

このような教え方が繰り返された結果、
いまでは教える先生もなぜラジアンを導入するのか
説明できるひとが少ないかもしれません。

回答No.8

pascal3141

半径１ｃｍの円周の長さは２πｃｍなので、１回転の角度を２πラジアンと約束すると、半径１ｃｍの扇形の円弧の長さが、ラジアンであらわした中心角と同じになります。（これがラジアンの意味です）すると、今まで中心角（a°）が与えられて弧の長さを出すためには、a°/３６０°と換算しなくてはいけなかった物が、今度は直接ラジアンの数値が弧の長さを表すために便利になります。公式なども、簡単な形で表すことができます。当然上記の約束で、２πラジアン＝３６０°、πラジアン＝１８０°ということになります。

お礼

ありがとうございます。

＞２πラジアン＝３６０°がとうございます。

2×３．１４×ｒ＝３６０になるということですか？

回答No.7

noname#231526

ラジアンで角度を測る方法は、昔は、「弧度法」といっていました。
　孤の長さで角度を表すという方法、ということです。
　半径１の円の円周は2π。円周は１周分３６０度を表す孤の長さですから、弧度法では、孤の角度＝３６０度を2πラジアンと表現するのです。
　半径１の円の４分の１（９０度）の孤の長さは２／π。ですから、９０度は２／πラジアンなのです。

回答No.6

siegmund

何度という角度の測り方は小学校で角度が出てきて以来おなじみなので，
普通は違和感も持ちません．
でも，考えてみると，なぜ一周が360度なんでしょう．
なぜ，100度にしなかったのでしょう？

一周360度はバビロニアに端を発していますが，
60進法や一年が約360日であることから来ているのでしょう．
でも，一周を360度にする決定的に合理的な根拠はありません．
上の疑問にあるように，一周100度だってよかったわけです．

どんな円でも，弧の長さと対応する中心角の大きさは比例します．
半径が２倍になれば，弧の長さも２倍になります．
それでは，弧の長さと半径との比(これは円の大きさにはよらない)で
角度を測ることにしたらどうか．
これなら，長さ(弧)と長さ(半径)ですから，直接の比を取るのが最も合理的でしょう．
弧の長さの1.234倍と半径の比を取る，なんて言ったらどう見てもへそ曲がりです．

というわけで，角度の(おそらく)最も合理的な定義が，
対応する弧の長さを半径で割ったものなのです．
これがラジアン単位で角度を測るということです．
半径 r の円でしたら，一周が 2πr，半周が πr ですから，
半周の180度に対応するのは πr/r = π [ラジアン] になります．

微分積分では，
(1)　　d sin(x)/dx = cos(x)
などですが，この x はもちろんラジアンで測った x です．
360度方式では微分するたびに係数が出てきますので，面倒ですね．
(1)は偶然ではなく，上で述べたように長さと長さの比を自然に取った，
ということに起因しています．

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

joshua01

すみません。#3です。

打ち終わってから勘違いに気が付きました。
1ラジアンは約57度。半径１ｍのタイヤが１ｍ進むための回転角度です。

ごめんなさい。ひさしぶりだったので・・・お詫びします。
まともな企画書で勘違いしなくて良かった・・・

回答No.4

sunasearch

１km＝１０００m
というのと同じです。

１π＝１８０度
として定義されているだけです。

回答No.3

joshua01

こんにちは。
私も以前悩んだことがありました。次のような説明ではいかがでしょう。

これは、「半径を決めてタイヤを作ってころがしたとき、回転の度合いからどの程度の距離を進むかを計算しやすくしたもの」というものです。

　「一周」という角度は人間にとって理解しやすいですが、少ない角度は表し難いもの。「度」はこれを360で割っていますが、なぜ、１００や１０００でないのか、小さな頃疑問をもったことがあります。それでも小学生のころからやっていれば慣れてきますね。
　一方、タイヤのころがる距離やベルトコンベアの動く距離からすると、直径１ｍのものを1周回すと動く距離が3.141597～mとなり、回転速度などを決めるときにやっかい。
そこで、直径１ｍのタイヤで１ｍ進む距離（外周の長さ）を角度の基本単位としてしまうのがラジアンです。角度で言えば1ラジアンは約115度になります。「秒速１０ｍで進みたければ秒速10ラジアン回せばよい・・・」となります。

これにより、エンジンなどの回転速度性能をあらかじめラジアンであらわすようにしておけば、（このエンジンは秒速５００ラジアン回せる・・等）速度を算出しやすく、テコの原理からトルク（どの程度の重いものを巻き上げられるか）の計算もしやすくなるというもので、実際に産業界では便利に使われています。ご理解いただけたでしょうか

　しかし、私も今なお疑問があります。将来の職業のために便利とはいえ、ラジアンを習うのは多くの場合高校ですが、その際は半径とそれを基本に作る三角形での関数（sin.cos等）とセットで学習し、そこではほとんど「外周の長さ」の概念が出てきません。ただただ「360度は２πラジアンと覚えましょう」と出てくるだけ。
　三角関数の変換でも多少便利とはいえ、これでは（ひとにぎりの勘の良い学生や高度な応用問題に挑む学生を除けば）教育上は良くないと思ってはいます。

　なお、この他、さらに角度を細かく表示するため、一周を６４００で割る「ミル」という単位もあります。私は仕事の上でこの３つの角度の中でおぼれかけています・・・（まあ、まじめではなくとも多少これらを勉強しておいたおかげで給料がもらえていると思えば・・・・）

　少々愚痴になりましたが、ご理解いただけたでしょうか。お役に立てれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。b

回答No.2

disabled1128

おそらく、便利だからだと思います。

たとえば、sin(cosX)などが出てきたときに度数方だとcosX＝何度とかになってしまいます。
こうなってくると逆におかしいですよね。

sin(π)＝sin(3.14)などとは考えずに、いままでのことは忘れて単にsin(π)＝０とか覚えたほうが無難だと思います。
要するに度数方とは切り離して新しいものだと思ってください。