高校数学ラジアンについて

質問

【質問】 θ=7/6πのsinθ cosθ tanθ の求め方
　　　　　θ=α＋2nπ（nは整数）とθ=7/6πの関係性

今数学の勉強をしているのですが、高校を卒業して何年も経ったので忘れている部分があり、理解に苦しんでいます。

三角関数のラジアンなんですが、これは弧度法ですよね。この部分がさっぱり分かりません。

ラジアンを度数法に直して考えると、sinθ=－1/2 cosθ=－√3/2 tanθ=1/√3と求められるのですが、度数法の話を抜きにしてラジアンのままで考えると分かりません。つまり質問のθ=α＋2nπ（nは整数）とθ=7/6πの関係性と言うか計算式が分かりません。

基本の360°=2π 180°=π　60°=π/3 などは理解でき説明せよ、と言われればできるのですが7/6π、11/3πとか言われると度数法に直さないと分かりません。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

ーーー
＃１

貴殿の投稿を拝読しますと、本質は＜数学の問題＞ではなく＜人間の認識（認知）の問題＞であると思います。

当方も、未だに＜度数法＞では、わかるが＜弧度法＞ではわからない。＜逆現象も時には現れますが・・・＞。現役時代から＜弧度法＞が不得手でした。体調にもよりますが、＜頭脳が活発に機能＞している時はＯＫですが、いつも、そうであることは期待出来ぬようです。＜頭脳が活発に機能する＞→＜機能しない＞の順序で書きますと。
まず、（１/２）π＝９０度　を目安としますが、
不調のときは、π＝１８０度、
更に不調、２π＝３６０度、
最悪の場合＜弧度法の定義に近い、円周の長さを基準とする＞　を鑑みて、３６０度の時２πｒ、→単位円のとき＜３６０度は２π＞に対応と、遡らねばならぬ事すらあります。

何故かように判じ難い＜弧度法＞が＜導入＞されたか、につきましては＜補足要求＞があらば＜再ＲＥＳ＞したいと存じます。

何れにいたしましても、約束ごとであり、＜覚えるしかなく＞また＜慣れるしかありません＞。

冒頭に書きました。＜人間の認識（認知）の問題＞に関しては、ひとつの事項（ここでは角度）にふたつ以上の概念が与えられた場合、最初に認識された概念（ここでは度数法）に変換しないと、理解できない現象が起きるようです。また生物学の所謂＜すりこみ現象＞にも関与しているとも推測します。

個体差（個人差）はあるにしても、図形の問題にまで＜弧度法＞を使用する人は少ないと推測します。（球面三角形などの場合はまた別の議論になります）。

余談になりますが、ひとつの例として当方は＜右、左＞の判定が時として不明になります。この場合＜英語のＲＩＧＨＴ＞→＜正しい＞→＜箸をもつ方の手＞→＜判明＞と馬鹿げた変換を行います。但し＜右、左の判定不明は＞かなりの人に起こる現象らしく、結構面白い議論に発展するようです。＜判定不明事項＞は当然ながら＜個人により異なります＞。

以上が本論ですが、これでは回答としては不足と思われますので、若干ですが考察して締めたいと思います。
ーーー
＃２　
＞＞ θ=7/6πのsinθ cosθ tanθ の求め方
上記の理由で、貴殿の方法で始めるしかなく、
θ=7/6π＝１８０度＋３０度
図形上（円または単位円）で正負を考慮して３０度の場合との比較で各値を求めます。
次第に慣れて行き、最終的に7/6πのままで算出・・・。

＞＞θ=α＋2nπ
ＳＩＮ、ＣＯＳの周期２πを利用して
主角αで求めます。

＞＞θ=7/6π
ＴＡＮの周期πを利用して
θ’=α＋nπ
主角αで求めます。
ＴＡＮ（7/6π）＝ＴＡＮ（１/6π）
ただし、（7/6）πまま求める方が・・・。

＜一般角θ=α＋2nπ　または　θ’=α＋nπに対して、αは主角(主値）と呼び、主角で計算します。＞

＞＞θ=α＋2nπ（nは整数）とθ=7/6πの関係性
これはＳＩＮ，ＣＯＳとＴＡＮの周期が異なるのでちょっと・・・。

＞＞11/3π
（11/3）π＝（１２/３）π＋（－１/３）πで
（－１/３）π、変換するならば（－６０度）で計算となります。

角度とは何か、無次元数（無名数）、度数法（６０分法）について、書こうと思っていたのです、長くなりましたので終わります。
ーーー

お礼

回答ありがとうございます。
回答を拝見していて、数学の問題ではなく、確かに知識の問題だったんだなぁと思いました。
慣れていくよう努力します。

回答No.2

ping80

弧度法は半径１の円の円弧の長さ（円周に沿った長さ）で表す角度の表し方ですね。半径1の円周の長さが２πr＝２π［ラジアン、rad］です。この円周に対して円弧の長さ＝弧度法の角度（単位はradです）とその円弧に対する円の中心角が度数法の角度（単位「°」）です。両者は、円弧の長さと円弧の中心角との関係で比例関係にあります。
θ=(7/6)π[rad]＝(7/6)180[°]＝7x30[°]=210[°]＝180°＋30°
ですね。
θ＝α＋2nπ[rad]＝α（180/π）＋360n [°]
ということです。
式での変換を考えるより単位円（半径１の円）を書いて円弧と長さ（単位ラジアン）と中心角（単位°）の関係で考えると分かりやすいかと思います。基本の角度の関係も単位円を描いて覚えるようにすると分かりやすいと思います。
なお、質問の問題はθ＝α＋βと基本の角度（0°30°45°60°90°180°）の和や差に直して、加法定理を適用してやると計算間違いが少なくなると思います。α＝180°＝π[rad]、β＝30°＝π/6[rad]と分けて公式を適用します。
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
tan(α＋β)＝sin(α＋β)/cos（α＋β）

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

postro

x-y座標軸の上に半径１の単位円をおき、その上で考えると直感的にわかりやすいです。
半円周を３分割（円周を６分割）したものが(1/3)π=60°とか
半円周を６分割（円周を１２分割）したものが(1/6)π=30°とか
（7/6）πは半周からさらに(1/6)π=30°すすんだところとか
（11/3）πは２周から(1/3)π=60°戻ったところとか
以上のように考えるとよいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
やはり7/6を半周プラス1/6と考えて答えを導き出すんですね。