オイラー定数の算定方法

質問

検索の仕方が悪いのか、算定法や、定数になることの証明がわかりません。ご存知の方、教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=442446
にかなり詳しい議論がありますので，ご参照下さい．

そこの No.4 での●曲線の下の面積評価はそのままやってよいですが
○曲線の下の方は一番左の長方形だけは別にして
1 + ∫{1→x} (1/x) dx = 1 + log(x)
としないと，x=0 からの発散が入ってきてしまいます．
つまり，
(1)　　H(n) = Σ{m=1→n} (1/m)
として，
(2)　　H(n) < 1 + log(n)
ですから，オイラーのγの一番元の定義
(3)　　γ = lim_{n→∞} {H(n) - log(n)}
から0<γ<1 はすぐにわかります．

(4)　　γ=0.577216...
が知られていますが，
上の(3)は収束が遅いですので，１０項くらいでは(4)と大分離れています．
ちょっとやってみたところ
n=10　　　　0.626383
n=100　　　 0.582207
n=1000　　　0.577716
n=10000 　　0.577266
n=100000　　0.577221
です．
まあ，今時パソコンでこれくらいやるのは一瞬ですけれどね．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=442446

お礼

有界であることが理解できました。
Γ(z)を微分して、１を代入すれば、
ψ(1) = -γ　なんですか。
式の途中経過は理解でかましたので、参考にして、考えて見ます。ありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

級数の収束判定法はいくつかありますが、（コーシー、アダマール、アーベル、項比較法）どの判定法も、基本原理は、「有界な単調列は収束する」という定理です。証明は簡単です。是非自分で考えてみてください。
また、算定法は級数の初項から１０項程を加えてみればよいでしょう。（当然、パソコンに計算させればよいのです。）

お礼

ありがとうございました。
すみません。私には、有界であることの証明からしてできません。