- ベストアンサー
ベキ級数の収束半径
siegmundの回答
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
siegmund です. > ご説明中にあったダランベールの公式、とは「z^nの係数a_nとしたときに、 > |a_n|/|a_n-1|のn→∞での極限値があればそれが収束半径に等しい」というものでしたよね、 > この公式はn→∞での極限が0や∞でも使えるものなのですか?? ダランベールの公式もコーシー・アダマールの公式も, n→∞での極限が0や∞でも使えます. No.4 で > ベキ級数の収束半径を与える二大有名公式が > コーシー・アダマールの公式とダランベールの公式ですが, と書いたのですが,他に収束半径を与える公式はないような気がします. 収束発散の判定法はいろいろな数学者の名前がついた方法がありますが, 収束半径そのものを与える公式は,上の2つ以外ちょっと思い当たりません. 便乗ですが,どなたかご存知でしたらついでにご教示下さい.
関連するQ&A
- 次のzの整級数の収束半径を求めよ。
次のzの整級数の収束半径を求めよ。 Σ[n=0,∞] 1/n! ・ z^n …という問題で、答えは∞になっています。 n乗ならコーシー・アダマールの公式 1/ρ = lim[n->∞]の上限値 |C_n|^(1/n) が使えるんですが、階乗なのでどうしたらいいのか…。 結局、コーシー・アダマールの公式を使ってみました。 計算機で limit((n!)^(1/n),n,∞) の結果が ∞でした。 ということは、nの階乗とn乗根なら、どうやら nの階乗の方が速く増大するみたいですね。 あれ? でも、収束半径は右辺の逆数ですから、 本の答えの+∞にするためには、右辺は0でないといけませんよね? どうやって計算するのか教えて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 級数の収束判定
今、無限級数の収束判定の問題を解いてるのですが、2問どうしても 解けない問題があり困ってます。 その問題は、 以下の無限級数が収束するか、発散するか調べよ。 1. Σ{n/(n+1)}^(n^2) 2. Σ 1/{{ln n}^(ln n)} 1.は明らかにコーシーの収束判定法を使う形に見えるのですが、 |{n/(n+1)}^(n^2)|のn乗根は 1に収束してしまうので、コーシーは使えません。ダランベールの収束判定も考えたのですが、うまくいかないです。 2.これもコーシーの収束判定法を使うのかと思ったのですが、ln n 乗があるため、うまく計算できません。 上記の問題、どなたかアドバイスをいただけないでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- べき級数の収束半径についての証明
べき級数の収束半径についての証明 べき級数Σc_nz^n,Σd_nz^nの収束半径をR,R'とするとき、|c_nZ^n|≦|d_nz^n|(∀n)が成り立つとき、R≦R',R'≦Rのどちらが成り立つか答え、それを証明せよ。 という問題なのですが… 以下のように証明したのですが、いかがでしょうか?? <証明> |c_nz^n|≦|d_nz^n| が成り立つとき、比較定理より、 「Σd_nz^nが収束する⇒Σc_nz^nも収束する」 ことが言える。よって、 R'≦R // いかがでしょうか?? 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
そうだったのですか、どうもありがとうございます。 僕も、収束半径を求める公式がほかにもあったら是非見てみたいので、このまましばらく締め切らずにおくことにします。
補足
だいぶ質問してから日が経ってしまったので、残念ですが、ここで締め切ることにしました。 回答いただいた皆様、どうもありがとうございましたm(_ _)m