運動量保存則がちょっとわからなくなってしまいました。

質問

次の問題でわからなくなりました。
【水平な地上に置かれた大砲(M)が、水平とつくる角θの方向に砲身を向けて砲弾(m)を発射した。大砲と地面の間に摩擦がなく、砲弾は砲身に対して相対速度vで打ち出されるものとして、大砲の後退する速さV、砲弾が実際に発射される方向と水平との間の角θ'を求めよ。】という問題。
この問題を運動量保存則を使って解こうとしたのですが、垂直方向の運動量保存則を適用すると、mまたは垂直方向の速度v'sinθ'=0になって、矛盾してしまう気がする。
この場合は、地球が動いていると考えればいいのですか?

回答No.11

guuman

摩擦の条件が抜けていました

重心が中心にある真球の惑星と弾丸が詰められた砲筒を有する大砲とがあり前記惑星上に前記大砲が存在し前記惑星と前記大砲が互いに相手から受ける万有引力以外の影響を受けないで慣性系に対して宇宙空間に静止していて前記大砲と前記惑星との間には摩擦がない
前記惑星の質量をＭｘとし
前記大砲の質量をＭとし
前記弾の質量をｍとする
前記大砲の「前記惑星水平面に対してθの角度方向惑星外向きの砲筒」から前記大砲に対して速さｖで前記弾が発射された

このとき
（１）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記惑星の速度Ｖｘを求めよ
（２）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記大砲の速度Ｖを求めよ
（３）前記弾が発射された直後の前記惑星に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ’を求めよ
（４）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ"を求めよ

（３）の回答：
tan(θ")=tan(θ)・(1+m/M)

（４）の回答：
tan(θ")=tan(θ)・(1+m/M)/(1+m/(Mx+M))

回答No.10

guuman

訂正
（３）惑星→慣性系

真球の惑星が「前記惑星上にある大砲及び前記大砲に詰められた弾」以外からの万有引力の影響を受けず自転せず慣性系に対して宇宙空間に静止している
前記惑星の質量をＭｘとし
前記大砲の質量をＭとし
前記弾の質量をｍとする
前記大砲の前記惑星水平面に対してθの角度方向惑星外向きの砲筒から前記惑星に対して速さｖで前記弾が発射された

このとき
（１）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記惑星の速度Ｖｘを求めよ
（２）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記大砲の速度Ｖを求めよ
（３）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ’を求めよ

（３）の回答：
tan(θ')=tan(θ)・(1+m/M)/(1+m/(Mx+M))

（１）を求めればあなたの混乱は解消します

回答No.9

guuman

真球の惑星が「前記惑星上にある大砲及び前記大砲に詰められた弾」以外からの万有引力の影響を受けず自転せず慣性系に対して宇宙空間に静止している
前記惑星の質量をＭｘとし
前記大砲の質量をＭとし
前記弾の質量をｍとする
前記大砲の前記惑星水平面に対してθの角度方向惑星外向きの砲筒から前記惑星に対して速さｖで前記弾が発射された

このとき
（１）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記惑星の速度Ｖｘを求めよ
（２）前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記大砲の速度Ｖを求めよ
（３）前記弾が発射された直後の前記惑星に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ’を求めよ

（３）の回答：
tan(θ')=tan(θ)・(1+m/M)/(1+m/(Mx+M))

（１）を求めればあなたの混乱は解消します

回答No.8

guuman

訂正

地球の質量がＷで地球の重心から大砲までの距離がＲでｍがＷに対して無視できないほど大きい時の運動を考える
そのときには地球＋大砲の垂直方向の速度を出さなければθ’はでません

回答No.7

guuman

地球の質量がＷで地球の重心から大砲までの距離がＲでＭがＷに対して無視できないほど大きい時の運動を考える
そのときには地球＋大砲の垂直方向の速度を出さなければθ’はでません

回答No.6

guuman

転記ミス

ｔａｎ（θ’）＝ｔａｎ（θ）・（１＋ｍ／Ｍ）

回答No.5

hikaru_mac

運動量保存は
もう少し正確な記述では
運動量変化＝与えられた運動量
だとおもいます．
普通，運動量はmvですが，力Fでｔ秒間，衝撃を受けた場合の与えられた運動量はF×ｔとなります．実際は衝撃を同じ大きさFで受けつづけることはないので∫Fｄｔと積分になりますがまぁ同じことです．

っでややこしいことを言いましたが，今回の問題では当然地球は動かないとして考えるのが普通です．
すなわち，θ＝90度の時を想像すればわかるように
砲台は地球から押されます．その分の力を考えないからおかしなことになってしまうのでしょう．
このようにMとｍの二体問題でそれらに対して外側から力がかかる場合には通常は「運動量保存は成り立たない」とします．与えられた運動量が分かる場合は上に書いた式のとおりです．
ちなみに垂直方向は地球から力を受けるので，Mとｍの運動量の和は保存しませんが，水平方向はどこからも力を受けないので，運動量は保存します．

回答No.4

guuman

ｔａｎ（θ’）＝（Ｍ＋ｍ）／ｍ・ｔａｎ（θ）

回答No.3

shkwta

いま求めたい「速度の垂直成分」は、地球から見た砲弾の速度の垂直成分です。垂直方向は、大砲と地球が一緒に動きます。したがって、これは、大砲から見た砲弾の速度の垂直成分と同じです。大砲から見た砲弾の速度の垂直成分とは、「相対速度vの垂直成分」と同じです。

＞この場合は、地球が動いていると考えればいいのですか?

その通りです。しかし、今求めたいのは地球に対する砲弾の速度ですから、わざわざ地球の速度を計算する必要がありません（しかも、実際上、０です）。

回答No.2

First_Noel

砲弾によって地球は確かに運動量を受けますが，
砲弾に比べて地球は重いので，そうそうの質量，そうそうの速度であれば，
鉛直成分については考えなくても良いです．