数学得意な人に偏差値を聞きたいです

質問

ある母集団があり、一つの試験を行ったとする。偏差値を５０から５５に上げるのと偏差値を６０から６５に上げるのは、どちらが難しいでしょうか？
私は「わからない」が答えと思います。数学の得意な人アドバイスお願いします。

回答No.7

betagamma · ベストアンサー

＞ある母集団があり、一つの試験を行ったとする。偏差値を５０から５５に上げるのと偏差値を６０から６５に上げるのは、どちらが難しいでしょうか？
うまい質問の仕方ですね。
まず、基本的なことですが、母集団が違うと、偏差値を比較することは、理想的な場合を除いて意味がありません。偏差値とは、「受けた人が全体の中でどのくらいの位置にいるか」を示す指標ですから、全体か受けた人かのどちらかが固定されていないと、意味がないわけです。例えば、「あなたの現在地は、この地図で端から10cmのところです」といわれても、「端」が上下左右どの端なのかわからなければ、意味がありませんね。この「10cm」にあたるのが、偏差値なわけです。
偏差値は、統計的にはz得点といって、受けている母集団の得点分布が、正規分布という分布に従っていると仮定しています。
http://www.u-gakugei.ac.jp/~kishilab/z-score.htm
ここに、詳しい解説が載っています。

ものすごく簡単に言ってしまうと、母集団の得点分布がキレイな山型になっていることを仮定しているわけです。この仮定は、実は非常に問題があるのですが、あえて正しいとすれば、60->65のほうが難しいです。
これは、条件付確率の問題のはずです。以下、計算が間違ってたら言ってください。
比較したいのは、
p(Z>55|Z>50)=p(Z>55,Z>50)/p(Z>50)
=p(Z>55)/p(Z>50)
p(Z>65|Z>60)=p(Z>65)/p(Z>60)
Z=50+10X (XはN(0,1)に従う）
ですから、X=(Z-50)/10なので、
p(X>0.5)/p(X>0)
p(X>1.5)/p(X>1.0)
を比較すればいいはずです。実際に、Rでこの値を求めて見ました。
> pnorm(0.5,lower.tail=FALSE)/pnorm(0,lower.tail=FALSE)
[1] 0.6170751
> pnorm(1.5,lower.tail=FALSE)/pnorm(1.0,lower.tail=FALSE)
[1] 0.4210841
これは、何をいっているかというと、今、偏差値50以上の人がいたとして、その人が偏差値55以上でもある確率は、0.617であるということです。つまり、テストが終わった後に、偏差値50以上の人集まって～と集めたら、10人に6人は偏差値55以上だということです。
偏差値60以上の人で、同じことをすると10人に4人しか偏差値65以上でないという結果になります。
ですので、60->65のほうが難しいです。

ただ、この仮定には、非常な疑問があります。つまり、「テストの点の分布が、正規分布にしたがっている」という仮定に、とても大きな問題があるのです。早い話が、頭のいいグループと悪いグループで２つ山がある場合などは、一切考えていないわけです。２つ山だろうが３つ山だろうが三角だろうが、どのような分布の形をしていようと、みんな強引に、このキレイな山型の分布だと思って考えよう、ということを言っているのです。そういうわけで、かなり無理があると思ったほうがよいでしょう。このように、もし、この正規分布に従うという仮定そのものを疑うとしたら、「わからない」が、答えでいいと思います。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
一応、偏差値が正規分布すると仮定しての質問でした。納得がいきました。