等速円運動の問題です(高校)

質問

学校で配られた実験用のプリントの問題なのですが、

等速円運動する物体の質量ｍ[kg]、周期Ｔ[s]、回転半径ｒ[m]、向心力ｆ[N]とすると、
ｆ＝ｍｒ×(２π/Ｔ)の2乗
が成り立つ、という証明がよく分かりません。
解説では、(糸の長さをｌ[m]、平均の張力をＦ[N])
『円運動の半径はr＝ｌsinθ[m]であり、円運動の向心力はFsinθ[N]であるから結局　Fsinθ＝mlsinθ×(２π/Ｔ)の2乗　よってF＝ml×(２π/Ｔ)の2乗』
と書いてありましたが、『円運動の半径はr＝ｌsinθ[m]』までは分かったのですが、それ以降がよく分かりませんでした。

宜しくお願いします。

回答No.3

robo3 · ベストアンサー

丁寧に書いてみます．そんなの当たり前だよ！ってところは読み飛ばしてください．

円運動の向心力はFsinθ[N]である
>>張力がFですよね．張力というのは，円運動する物体が糸に引っ張られる力です．
ところで，向心力というのは，円の中心に向かう力です．
（この力によって，物体は円運動をするのです．）
つまり，張力Fのうち，水平な成分は絶えず円運動の中心を向いているので，これは向心力になり．その大きさはFsinθ[N]である．

（補足）-----------------------
逆に，張力の地面に垂直な成分は，重力とつり合っていると思います．その大きさは，Fcosθ[N]だから，
Fcosθ = mg
になるはずです．
（補足終わり）-----------------

向心力をK，円運動の半径をrとすると，
K = mrω^2 = mv^2/r　　　---(1)
(^2は二乗を表す．)
また，円運動の周期をT，角運動量をωとすると，
T = 2π/ω　　　　　　　 　---(2)

ということを物理を学んだ人は知っています．
式(1)(2)をはじめて見た，ここがわからないというのがあれば，さらに説明します．

話を戻すと，
この問いでは向心力はFsinθであるから，式(1)より，
Fsinθ = mrω^2
であり，これに，
式(2)の ω = 2π/T
r = lsinθ
の二つを代入すると
Fsinθ＝mlsinθ×(２π/Ｔ)^2
となります．
両辺sinθで割って，
F＝ml×(２π/Ｔ)^2

わからないところがあったらまた聞いてください．

お礼

こんなにご丁寧にありがとうございます!!
おかげで分からなかったところを理解する事が出来ました☆

回答No.2

BLUEPIXY

その、プリント（糸の長さ：ｌと半径：ｒとがなぜ等しくないのか）よくわかりませんが、
速度ｖで等速円運動している物体があるとして、
ごく短い時間Δｔの時間の間に、角度がθだけ変化した時の速さをｖｓｉｎθ（極小さい角度だからこれで近似できる）とすると
（ｖｓｉｎθ）／Δｔ
で単位時間あたりの速さの変化（加速度）を求めることができる。
ところで、
θ＝単位時間に移動した距離／ｒ（ラディアン）
であり
Δｔ＝単位時間に移動した距離／ｖ
だから
Δｔ＝ｒθ／ｖ
これを加速度の式に当てはめると
α＝（ｖｓｉｎθ）／（ｒθ／ｖ）
＝ｖｖｓｉｎθ／（ｒθ）
ところで、
ｖ＝２πｒ／Ｔ（円周とそれを回るのに要する時間の比）
だから
α＝｛（２πｒ／Ｔ）（２πｒ／Ｔ）／ｒ｝｛ｓｉｎθ／θ｝
＝｛ｒ（２π／Ｔ）（２π／Ｔ）｝｛ｓｉｎθ／θ｝
ココで、θを０に近づけると
｛ｓｉｎθ／θ｝は１になるから
α＝ｒ（２π／Ｔ）（２π／Ｔ）
加速度：αと質量：ｍが解っているときその力ｆは
ｆ＝ｍαだから
ｆ＝ｍｒ（２π／Ｔ）（２π／Ｔ）

お礼

長々とご説明、ありがとうございました!!

回答No.1

sode85

こんにちわ。

Fsinθ=mlsinθ×(2π/T)^2 というのは結局、運動方程式です。

Fが張力なのでFsinθは張力の水平成分です。
mは当然、物体の質量です。
問題は加速度aがなぜlsinθ×(2π/T)^2になるかです。
これはω=2π/T=√a/rという等式から導けるでしょう。

お礼

回答ありがとうございました!!