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f(x,y)=x^2＋y^4の極値
shibainumodokiの回答
f(x,y)=x^2＋y^4 の停留点はfx(x,y)=2x, fy(x,y)=4y^3より(0,0)ですね。 ここで、(x,y)=(0,0)でヘッセ行列の行列式 fxx・fyy-fxy・fyx=0 になって極値の判定ができないのが問題なのですね。 ならば(fx(0,0),fy(0,0))=(0,0) のもとで(0,0)近傍の点でのf(x,y) の符号を調べてみればいいのでは？ f(x,y)は(0,0) 以外の点でf(x,y)>0ですね。 よって、f(x,y)は(0,0)で停留点となり、(0,0)を除く任意の点でf(x,y)>0 なので、(x,y)=(0,0) は極小点といえるのではないでしょうか？
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