積分の答えが合いません．．．

質問

問い）

Y(n) = (1/2π)∫(-π～0まで)(-jx)e^(jxn)dx ＋ (1/2π)∫(0～πまで)(jx)e^(jxn)dx

答え）

Y(n) = (cosπn)/n

なのですが，いくら計算しても，虚数jが解に残ってしまいます．どなたか，ご指導下さいm(__)m

回答No.5

Drunk

はい、解答は間違っていると思います。

お礼

遅くなってしまい申し訳ありません．
間違っていますかぁ～(__;)
自分の解いた途中結果が間違っている可能性が高いので，正式な問いを新たに質問してみようと思います．

Drunkさん，いろいろとありがとうございました．
本当に感謝しております．

回答No.4

Drunk

フーリエ展開する元の関数がx=0に対して対称ですので、
e^(jxn)の対称成分である　cos(xn)だけが積分として
効くことになります。
ところが、元の関数自体に虚数がかかっているので、
虚数は残ることになりますね。
また、n=0の場合普通の積分になるので、この場合Yは0に
なりません。

お礼

またまた回答ありがとうございます．大変感謝ですm(__)m
ということはやはり解答が間違っているのでしょうか？

回答No.3

Drunk

申し訳ないです。私も勘違いしていました。m(__)m

第一項目は
(1/2π)∫(0～πまで)(jx)e^(-jxn)dx
となり、虚数は残ります。
答えもかなり違います。
Y(n)=i/(πn^2)*(cos(nπ)-1)
=i/(πn^2)*((-1)^n-1)　　　（n≠0)
で、n=0のとき場合分けが必要です。

お礼

いえいえ，ありがとうございます．
n＝０のとき，Ｙ＝０になりますよね．
n≠０のとき，Ｙ＝cos(πn)/nにならないんで(^^;)
虚数jが消えないんですよ．

回答No.2

Drunk

x→(-x)に置き換えると
第一項＝ (1/2π)∫(π～0まで)(jx)e^(-jxn)dx
積分の方向を逆にして
-(1/2π)∫(0～πまで)(jx)e^(-jxn)dx

お礼

またの回答ありがとうございますm(__)m

eの部分がjxnから-jxnになるのはどうしてなんでしょうか？

補足

すみません．あほな質問しちゃいました．．
x→(-x)におき変えるからなんですねm(__)m
申し訳ありませんでした．．．

回答No.1

Drunk

第一項の積分が
-(1/2π)∫(0～πまで)(jx)e^(-jxn)dx
に変形できますよね。
これと第二項の積分とを合わせると虚数部分が
消えてくれます。

お礼

回答ありがとうございます．

＞第一項の積分が
-(1/2π)∫(0～πまで)(jx)e^(-jxn)dx
に変形できますよね。

マイナスが出るのは分かりますが，積分の範囲が０～πになるのが良く分かりません(__;)

ちなみにこれは逆フーリエ変換なんですよ．