減衰振動

質問

鉛直につるしたばね振動子による1自由度機械振動系の減衰の様子を確認する実験をしたところ、理論値で求めた減衰の様子と実験で測定した減衰の様子がまったく異なりました（実験の方が理論でより長く振動がつづいた）。これは何が原因なのでしょうか？
自分では慣性力によるものなのでは？と思っているのですが、決定的な証明ができません。ヒントだけでもよろしくお願いします。

回答No.5

Teleskope

>>　
(A)　重りｍをばねにぶら下げてばね定数ｋを測定
(B)　周波数測定から減衰定数αを逆算
(C)　質量の単位はkg、ばね定数の単位はN/m、減衰定数はそこから計算で求めました。
<<

　どうやら教養レベルではなさそうですね。それでは；

　ωo^2 = k/m　　　　　　共振周波数
　　　α = b/(2m)　　　　　減衰周波数
　　β^2 = ωo^2－α^2　 自由振動周波数

　確認しますと、重りの重力 F=mg による伸びの実測値 e から ωoを算出；
　　ωo^2 = k/m = e/(gm^2)
自由振動周波数の実測値 fn から 2πfn =βと置いて 減衰周波数αを
　　α = √(ωo^2-β^2) = √((e/(gm^2))^2－β^2)
と算出したんですよね？
このαでグラフを描くと「数振動で減衰してしまう」と。（次元などの不統一はありませんよね？　 e が mm で ｇ が m/s^2 とか、β=2π×実測周波数 rad/s の 2πを忘れてる、などです。）

　この種の「実験結果の解釈が‥のご質問」に多いのですが、質問の補足の繰り返しに大部分が費やされまして、全貌が明らかになった時点で即解決、というのがほとんどです。　登場する数値を教えてください。

(1)　重りの質量m。寸法。分れば材質も。
(2)　バネの形状。バネの（横たえたときの）長さ。バネの質量。
(3)　算出した バネ定数k の値とωoの値。
(3)　振動周期の実測値。（測定方法も具体的にお願いします。振幅は何cmとかも。）
(4)　あなたが α をどう計算したかその過程を数字で。

>>　自分では慣性力によるものなのでは？と思っているのですが <<

　恐らくそういうヒントを戴いたのだと想像しますが、文法的に「何の」慣性力でしょうか？　振動が耳に聞こえるほど周波数が高くて空気の慣性力（抵抗が速度の2乗に比例する）も考慮しないといけないのか、　無視してるバネ自身の慣性質量（運動方程式の m に考慮しないといけない）のことなのか、、もう少し教えてください。

回答No.4

Teleskope

ωo^2 = k/m　　共振周波数

でした、ごめんなさい。（電気の癖が出てしまいました。）

回答No.3

Teleskope

>>　m(d^2x/dt^2)=-kx－b(dx/dt)として減衰振動の様子を考え、理論的には２，３周期程度で変位はほぼ0に近づくという結果を得ましたが、実際には500周期以上振動し続けました。 <<

　　m(d2x/dt2)＋b(dx/dt)＋kx = 0

の系の自由振動ですね？
　　ωo^2 = 1/(mk)　　共振周波数
　　α= b/(2m)　　　　減衰周波数
より、自由振動周波数βは、
　　β^2 = ωo^2－α^2
で、
振動解になる場合の時間解は初期変位を１として

　　 x(t) = exp(-αt)・(cosβt＋(α/β)sinβt)

ですが、合ってますか。

(1)　実験にお使いになった m と k と b の数値と単位を教えてください。単位は kg とか Ns/m とか N/m とかです。どんな単位をお使いかも知りたいのです。

(2)　摩擦負荷 b は実際何をお使いですか、くわしく。教材のダッシュポットなどなら、具体的な品名も参考になるかもです。

(3)　振動周期時間は実測値されてますか。
　　1/fo = 2π/ωo　　　共振（共鳴）の周期
　　1/fn = 2π/β　　　自由振動の周期
のどちらに近いでしょう。

補足

説明不足な質問で申し訳ありませんでした。
回答ありがとうございます。
本実験では、あらかじめ用意してあったいくつかの質量の重りをばねにぶら下げてばね定数を測定し、さらに実験的に周波数を測定してそこから減衰定数を逆算するという実験を行いました。
ダンパー等の機械系の摩擦付加は使わずに空気抵抗のみで実験を行いました。
質量の単位はkg、ばね定数の単位はN/m、減衰定数はそこから計算で求めました。

x(t) = exp(-αt)・(cosβt＋(α/β)sinβt)

の式では減衰項はexp(-αt)ですよね？
その式で計算したグラフの包絡線が実験で測定されたものと大きく異なるものとなったわけです。。

回答No.2

shkwta

No.1です。抵抗力が速度に比例するという系なら、その運動方程式は正しいです。

(1)運動方程式を、数学的に解いたのなら、式の変形で計算間違いをしている。
(2)運動方程式を数値計算したのなら、使った公式が適切でない。または、プログラムがまちがっている。
(3)代入した数値がまちがっている。単位が理論と実験で合っていない。桁や単位をまちがえて代入している。
(4)実験装置の構成、精度などが適切でない。
(5)実験装置が壊れている。
(6)理論計算で使ったmやkやbの値と、実験装置のmやkやbの値が異なっている。
(7)その実験装置ではどうやって制動をかけているのかわかりませんが、たとえば水のような液体の抵抗を利用しているなら、液体自体の振動が続いていて、それがおもりを揺さぶっている。
(8)実験装置自体が振動している。
(9)部屋の振動、空気の振動（音や風）が伝わって、それがおもりを揺さぶっている。
(10)測定器の設定が間違っている（ものすごく、高感度になっているとか）。
(11)測定器に雑音信号が入っている。
(12)最初の振幅の何分の１になれば「止まった」と見なすのかなどの条件が一致していない。

そんなわかりきったことは点検済みだということであれば失礼しました。

回答No.1

shkwta

たとえば、ばねにおもりをつるし、水中で振動させた場合ですと、(1)温度等のせいで、水の粘性が理論計算で仮定したものより小さかった。(2)おもりの形状により、水の抵抗が理論計算で仮定したものより小さくなった。(3)おもりの運動によって水が振動し、その振動の成分の一つがおもりの振動と一致していたため、実質的に水の抵抗が小さくなった、といったことが考えられます。

どんな実験か、どんな理論計算をしたのかがわからないので、的外れの回答かもしれません。その場合は補足してください。

補足

回答ありがとうございます。
質量に働く運動方程式より、抵抗係数b、ばね定数k、ばねの変位をxとしますと、
m(d^2x/dt^2)=-kx－b(dx/dt)として減衰振動の様子を考え、理論的には２，３周期程度で変位はほぼ0に近づくという結果を得ましたが、実際には500周期以上振動し続けました。これほどまでの違いでは抵抗の差を超えた違いかと思っています。
理論計算がまちがっているのでしょうか？