２次関数に接する直線の方程式

質問

y＝ax^2＋x＋1　(a≠0)にaの値に関係なくつねに接する直線の方程式を求めよ。
という問題が塾の数Ｉのテストで出て、下に書いたような答案を作成したところ、全く減点されずに正解扱いになっていました。
しかし自分ではちょっと間違っている気がして、もし入試などで同じ問題が出たら、ちゃんと減点されずに答えられる自信がありません。本当に間違いやつっこむ所はないでしょうか？
ちなみに、模範解答とは違うやり方です。(模範を読んでもごちゃごちゃしてよくわかりませんでした。)

【書いた答案】
F(x)＝ax^2＋x＋1　とおくと、
F'(x)＝2ax＋1　であり、
x＝mにおいて放物線に接する直線の傾きは、
F'(m)＝2am＋1　であるので、直線の方程式は、
y＝(2am＋1)(x－m)＋am^2＋m＋1　で与えられ、aについて整理すると、
y＝m(2x－m)a＋x＋1　となる。ただし、aの値とは無関係に接するので、aを含む項は0になる。
よって、m(2x－m)a＝0　となり、求める方程式は、
y＝x＋1　である。

と書きました。最終的な答えは正答と同じなのですが、自分で見直してみると、私の答案だとaについて整理した時点で、
m(2x－m)a＝0　となれば良いわけで、問題文のa≠0より、
m＝0　または　x＝m/2　が成立します。
m＝0　なら正答と同じになりますが、　x＝m/2　を代入すると、
y＝m/2＋1　になってしまい。おかしいのでは??と思いました。
やはり不正解になるべきだったのでしょうか？
どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

ns-iroha

数Iらしい答案ということで…

y=ax^2+x+1…(1)
の接線の方程式を、
y=cx+d…(2)(c、dは定数)
とおくと、(1)、(2)を同時に満たす(x,y)がただ1つになればよいので、xに関する方程式
ax^2+x+1=cx+d…(3)
が重解を持てばよい。(3)をxについて整理すると
ax^2+(-c+1)x+(-d+1)=0…(4)
となるので、(4)の判別式
(-c+1)^2-4a(-d+1)=0…(5)
がaの値に無関係に成立すればよい。
そのためには
c=1、d=1…(6)
となればよい。(6)を(2)に代入して、求める接線の方程式は
y=x+1
となる。

いかがでしょうか？