ベクトル場の面積分の問題です。
３次元のベクトル場(i,j,k) である、A=i+j , B=yi+xj それぞれについて、
(1)ｙz平面上の単位円についての面積分を求めよ。ただし、単位法線ベクトルの向きはx方向とする。
(2)原点中心の半径１の球の表面についての面積分を求めよ。
という問題なのですが、
積分する面をパラメータ表示してやってみたところ、
(1)(x,y,z)=(0,cosθ,sinθ) (0≦θ≦2π)
N=(1,0,0) (ベクトルを大文字で表しました;)
A・N=(1,1,0)・(1,0,0)=(1,0,0)
B・N=(y,x,0)・(1,0,0)=(y,0,0)
∮A・NdS の dsの部分の求め方がいまいちわかりません；
(2)では
(x,y,z)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) （0≦θ≦π,0≦φ≦2π)
ds=|(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)×(-sinθsinφ,sinθcosφ,0)| dθdφ
=sinθ dθdφ
N=(x/2,y/2,z/2)
A・N=x/2=(1/2)・sinθcosφ
∮A・NdS=(1/2)・∬(sinθ)^2・cosφ dθdφ
=(π/4)・∫cosφ dφ
=0?
B・N=ｘｙ=(1/2)・(sinθ)^2・sin2φ
∮B・NdS=(1/2)・∬(sinθ)^3・sin2φ dθdφ
=(4/3)・∫sin2φ dφ
=0?
となったのですがどこが間違っているかわかりません；
どうか教えてくださいm(__)m
