正八面体の内接球の半径

質問

以下の問題ですが、何とか頭をひねって考えるもののどうしても解き方が分かりません。

１辺の長さが２cmの正八面体の内部に、この正八面体のすべての面に接する球がある。
このとき正八面体の体積と球の半径を求めよ。

答え・体積＝８√２／３　半径＝√６／３

体積については何とか分かりましたが、半径についてが分かりません。
数学はとても苦手なので、できれば詳しくかみくだいてご説明頂ければと思っております。
皆様、どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.2

kmb01 · ベストアンサー

すでに求めた体積を利用すると簡単かも。
正8面体の中心を頂点とする3角錐8個に分解すると、
各3角錐の体積は1で求めたものの1/8なので√2/3
3角錐の体積は低面積*高さ/3
底面は各辺が2の正三角形で面積は√3
高さ=内接球の半径=xとすると、
√3 * x / 3 = √2 / 3

で、x = √6/3です。

お礼

先の答えを利用するんですね！ナルホド。
正八面体の絵を何度書いても分からず、球体の半径がどの形のどの線に当たるのかイマイチ理解できず、解けませんでした。
ご説明の内容で、とても良く分かりました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

「接する」ということから、球の中心から、正八面体の各面に対して、垂直な線を引いた時の、その垂線の長さが半径になります。

ですから、正八面体を真横から見た図（底辺の長さが２で高さが√２の三角形）を書くと、

底辺の真ん中が、球の中心。そして、三平方の定理より、三角形の残りの辺の長さが√３とわかります。

そして、底辺の真ん中から、長さ√３の辺に垂線を引き、その長さをxとすると、
三角形の相似から、√２：√３＝x：１という関係が得られますので、√３x＝√２から、
x＝√６／３が求められます。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
正八面体の絵をかいて、がんばって解いてみます。